高中数学（必修1）第1章13函数的奇偶性.doc

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1、高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。这一节我们继续学习函数的另一个性质。请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特

2、征？把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称

3、图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念Oxy教师提问：请大家观察函数y=x2与函数y=

4、x

5、－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y轴。即若点（x，f（x））是函数y=x2图像上的任意一点，则它关于y轴的对称点（－x，f（－x））也在函数y=x2的图像上，这样的函数称之为偶函数。（2）反映在数上：对于函数y=x2有x…－3－2－10123…f（x）=x2…9410149…对于函数y=

6、x

7、

8、－2有x…－3－2－10123…f（x）=

9、x

10、－2…－101210－1…f（－1）=（－1）2=12=f（1）；f（－2）=（－2）2=22=f（2）；f（－）=（－）2=（）2=f（）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x代替。教师分析：我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应：7形的特征数的特征图象横坐标成相反数函数自变量成相反数图象纵坐标相等函数值相等横坐标成相反数时纵坐标相等当x1=－x时，f（x）=f（－x）图象性质：关于y轴对称f（－x）=f（x）

11、也就是说，若自变量x取一对相反数，则函数值相等，即f（－x）=（－x）2=f（x）（这一结论是猜想出来的）。于是得到偶函数的概念：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么函数y=f（x）是偶函数。任意的含义（因x取不尽，所以利用任意来定义）【例1】已知偶函数f（x）=ax2+bx+3a+b的定义域为[a－1，2a]，求函数y=f（x）的解析式。答案：f（x）=x2+1。变式：已知偶函数f（x）=ax2+bx+c，x∈[2a+1，a2]，求a，b的值。教师分析：大多数学生都

12、能通过偶函数的定义出发由f（－x）=f（x），得b=0，而如何求a呢？教师提问：函数f（x）=3x2，x∈[0，2]是偶函数吗？为什么？学生回答：不是，因为函数的图象不关于y轴对称。教师提问：导致函数图象不关于y轴对称的根源在哪里？学生回答：函数的定义域不关于原点对称。教师分析：也就是说，偶函数的定义域有何特点？学生回答：必须是关于原点对称的集合。Oxy教师点评：通过自然界的对称实例和对于函数y=x2与函数y=

13、x

14、－2图像的直观观察，学生头脑中建立了函数奇偶性的直观表象，学生初步理解了函数奇偶性的几何意义

15、，这样的引入有助于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与新知相关的旧知，使学生的原认知结构对新知识的学习具有某种“召唤力”。（二）奇函数概念教师问题：与研究偶函数概念的方法一样，请大家考察函数y=与函数y=x3的图像具有怎样的对称性？学生回答：关于原点对称提出问题：从函数函数y=与函数y=x3本身而言，其特点是什么？（1）反映在数上：f（－1）=（－1）3==－13=－f（1）；f（－2）=（－2）3=－23=－f（2）；f（－）=（－）3=－（）3=－f（）……（不完全归纳法），也就是说，若自变量x取一对相

16、反数时，则函数值也得到一对相反数，即f（－x）=（－x）3=－f（x）。（2）反映在形上：若点（x，f（x））是函数y=x3图像上的任意一点，则它关于原点的对称点（－x，－f（x））也在函数y=x3的图像上，这样的函数称之为奇函数。教师分析：我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应：形的特征数的特征图象横坐标成相反数函数自变量成相反数图象纵坐标成相反数函数值成相反数横坐标成相反数时纵坐标成相反数当x1=－x时