一元二次方程根的分布(精品).docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。2设一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2。b【定理12x1＋x2＝－a＞01】x＞0，x＞0c，x1x2＝a＞0△＝b2－4ac≥0△＝b2－4ac≥0推论：x1＞0，x2＞0a＞0或a＜0f(

2、0)＝c＞0f(0)＝c＜0b＜0b＞0上述推论结合二次函数图象不难得到。yyba002ac0Oxx1x200Ox1x2xc0b0a02a例1：若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两个正根，求m的取值范围。△＝b2－4ac≥0【定理2】x1＜0，x2＜012b＜0，x＋x＝－a12c＞0xx＝a1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯△＝b2－4ac≥0△＝b2－4ac≥012a＞0a＜0推论：x＜0，x＜0f(0)＝c＞0或f(0)＝c＜0b＞0b＜0由二次函数图象易知它的正确

3、性。a0yby2a0c0x1xO2x00x1x2Oxc0b0a02a【定理3】x1＜0＜x2c＜0a例2：k在何范围内取值，一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根？【定理4】①x1＝0，x2＞0c＝0且b＜0；②x1＜0，x2＝0c＝0且b＞0。aayya0a0x1xOOx2xx2x1b0b2a02a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ybby02a02aOx1Ox1x2xx2xa0a0例3：若一元二次方程kx2＋(2k－1)x＋k－3＝0有一根为零，则另一根是正根还是

4、负根？二．一元二次方程根的非零分布——k分布设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为x1，x2，且x1≤x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即x1、x2相对于k的位置）有以下若干定理。2△＝b－4ac≥0af(k)＞0【定理1】k＜x1≤x2b－2a＞kyybf(k)0a0x2aOkOx2kx1x2xx1xbf(k)00xa2a△＝b2－4ac≥0af(k)＞0【定理2】x1≤x2＜k。b－2a＜k3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯yyba0f(k)0x2aOx2Ox2k

5、x1kxx1xba0f(k)0x2a【定理3】x1＜k＜x2af(k)＜0。yyOx1a0f(k)0kx1x2x2xOkxf(k)0a0推论1x1＜0＜x2ac＜0。推论2x1＜1＜x2a(a＋b＋c)＜0。【定理4】有且仅有一个根ya0f(k1)0x1k2Ok1x2xOf(k2)0x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)＜0yf(k1)0x1x2k2k1xa0f(k2)0a＞0a＜0【定理5】k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2f(k1)＞0f(k1)＜0f(k2)＜0或f(k2)＞0f(p1)＜0f(p1)＞0f(p2)＞

6、0f(p2)＜04⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯△＝b2－4ac≥0△＝b2－4ac≥0a＞0a＜0【定理6f(k1)＞0或f(k1)＜0】k＜x≤x＜k1122f(k)＜0f(k)＞022bbk1＜－2a＜k2k1＜－2a＜k2ya0yxbf(k1)0f(k2)0x1x2k1Ok1k2xOx1f(k1)bx2a2ak2x2x0f(k2)0a0三．例题解析例：已知关于x的方程x2(2m1)x42m0，求满足下列条件的m的取值范围.（1）两个正根（2）有两个负根（3）两个根都小于1（4

7、）两个根都大于12（5）一个根大于2，一个根小于2（6）两个根都在(0,2)内5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7）两个根有且仅有一个在(0,2)内（8）一个根在(2,0)内，另一个根在(1,3)内（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大（10）一个根小于2，一个根大于46⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯补充知识：1.二次函数的解析式的三种形式一般式：yax2bxc(a0)；对称轴方程是xb；顶点为(b,4acb2)；2a2a4

8、a两点式：ya(xx1)(xx2)；对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：ya(xk)2h；对