一元二次方程根的分布(精品)

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1、一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2。【定理1】x1＞0，x2＞0ó，推论：x1＞0，x2＞0ó上述推论结合二次函数图象不难得到。例1：若一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0有两个正根，求m的取值范围。【定理2】x1＜0，x2＜0ó，推论：x1＜0，x2＜0ó由二次函数图象易知它的正确性。【定理3】x1＜0＜

2、x2ó＜0例2：k在何范围内取值，一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0有一个正根和一个负根？【定理4】①x1＝0，x2＞0óc＝0且＜0；②x1＜0，x2＝0óc＝0且＞0。例3：若一元二次方程kx2＋(2k－1)x＋k－3＝0有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程根的非零分布——k分布设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为x1，x2，且x1≤x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即x1、x2相对于k的位置）有以下若干定理。【定理1】k＜x1≤x2ó【定理2】x1≤x2＜kó。【定理3】x1＜k＜x2óaf(k)＜0。推论1x1＜0＜x2óac＜0。推论2

3、x1＜1＜x2óa(a＋b＋c)＜0。【定理4】有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2óf(k1)f(k2)＜0【定理5】k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2ó【定理6】k1＜x1≤x2＜k2ó三．例题解析例：已知关于的方程，求满足下列条件的的取值范围.（1）两个正根（2）有两个负根（3）两个根都小于（4）两个根都大于（5）一个根大于2，一个根小于2（6）两个根都在内（7）两个根有且仅有一个在内（8）一个根在内，另一个根在内（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大（10）一个根小于2，一个根大于4补充知识：1.二次函数的解析式的三种形式一般式：；对称轴方程是；顶点为；两点式

4、：；对称轴方程是；与轴的交点为；顶点式：；对称轴方程是；顶点为；2.一元二次函数的单调性：当时：为增函数；为减函数；当时：为增函数；为减函数；3.二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的内在联系（1）的图象与轴交点的横坐标是方程_______________的实根(2)若为方程的两实根，则函数的图象在轴上截得的线段长应为

5、

6、=__________________________________________________(3)当_________________时，恒有；当____________________时，恒有.反思与归纳：