【5年高考3年模拟】(新课标版)2014年高考数学真题分类汇编3.2导数的应用文.doc

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1、3.2导数的应用考点一　导数与函数的单调性1.(2014课标Ⅱ,11,5分)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是(　　)A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)答案　D　2.(2014重庆,19,12分)已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解析　(1)对f(x)求导得f'(x)=--,由f(x)在点(1,f(1))处的

2、切线垂直于直线y=x知f'(1)=--a=-2,解得a=.(2)由(1)知f(x)=+-lnx-,则f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.当x∈(0,5)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5.3.(2014安徽,20,13分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨

3、论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解析　(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1+a-2x-3x2.令f'(x)=0,得x1=,x2=,x1x2时,f'(x)<0;当x10.故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增.(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.(i)当a≥4时,x2≥1,由(1)知

4、,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.(ii)当0

5、(x)=的单调区间;(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).因为f(x)=,所以f'(x)=.当f'(x)>0,即0e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).(2)因为e<3<π,所以eln3

6、单调递增,可得3e<πe<π3,e3π3;由<,得ln3e

7、域为R,f'(x)=x2+2x+a.①当a<1时,令f'(x)>0,则x2+2x+a>0⇒x>-1+或x<-1-,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞);令f'(x)<0,可得-1-0.由(1)知,f(x)在(-1+,+∞)上是增函数.①⇒⇒⇒-≤a,则-≤a<0,不存在x0∈∪,使得f(x0)=f;②⇒⇒-

8、∪,使得f(x0)=f;③-1+=⇒a=-,不存在x0∈∪,使得f(x0)=f;④⇒⇒-3