空间向量的正交分解及其坐标运算表示练习题.doc

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1、课时作业(十六)[学业水平层次]一、选择题1．设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由空间基底的概念知，pq，但q⇒p，故p是q的必要不充分条件．【答案】B2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()→A．向量AB的坐标与点B的坐标相同→B．向量AB的坐标与点A的坐标相同→→C．向量AB与向量OB的坐标相同→→→D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同【解析】因为A点不一定为坐标原点，所以A不对；

2、B、C都→→→不对；由于AB＝OB－OA，故D正确．【答案】D3．(2014·成都高二检测)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是→→→→上底面对角线AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则B1M可表示为()1111A.a＋b＋cB.a－b＋c22221111C．－a－b＋cD．－a＋b＋c2222→→→→1→→11【解析】由于B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(BA＋BC)＝－a＋b222＋c，故选D.【答案】D4．正方体ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，→→→→→→AB′，AD′的中点，以{

3、AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2→＋zAO3，则x，y，z的值是()1A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝22C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝22→→→→【解析】AC′＝AA′＋AD＋AB1→→1→→1→→＝(AB＋AD)＋(AA′＋AD)＋(AA′＋AB)2221→1→1→→→→＝AC＋AD′＋AB′＝AO1＋AO3＋AO2，222由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.【答案】A二、填空题5．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是______

4、__．【解析】∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.∴a⊥b.【答案】a⊥b6．如图3128,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和→→→→BD的交点，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则B1M＝________.图3128→→→【解析】B1M＝AM－AB11→→→→1→1→→11＝(AB＋AD)－(AB＋AA1)＝－AB＋AD－AA1＝－a＋b－c.2222211【答案】－a＋b－c227．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，

5、j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．【答案】(8,3,12)三、解答题→→8．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝→→→→－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，能否以OA，OB，OC作为空间的一个基底？→→→【解】假设OA，OB，OC共面，→→→根据向量共面的充要条件有OA＝xOB＋yOC，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e

6、2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.－3x＋y＝1，∴x＋y＝2，此方程组无解．2x－y＝－1.→→→∴OA，OB，OC不共面．→→→∴{OA，OB，OC}可作为空间的一个基底．→1→9．如图3129，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，MA＝－AC，3→1→→→→→ND＝A1D，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN.3图3129→→→【解】连结AN，则MN＝MA＋AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得→→→AC＝AB＋AD＝a＋b，→1→1MA＝

7、－AC＝－(a＋b)，33→→→又A1D＝AD－AA1＝b－c，→→→→→→1→1故AN＝AD＋DN＝AD－ND＝AD－A1D＝b－(b－c)，33→→→111MN＝MA＋AN＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)．333[能力提升层次]1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB.M，N分别是→OA，BC的中点，点G是MN的中点，则OG等于()1→1→1→A.OA＋OB＋OC6321→→→B.(OA＋OB＋OC)41→→→C.(OA＋OB＋OC)31→1→1→D.OB＋OA＋OC633【解析】如图，→1→→OG＝(OM＋ON

8、)21→11→→＝OM＋×(OB＋OC)2221→1→1→＝OA＋OB＋OC4441→→→＝(OA＋OB＋OC)．4【答案】B→→→2．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B