关于0.999……和1究竟谁大？.doc

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1、0.999999999（循环）和1究竟谁大？闲来无事，想起关于1/3*3=0.9循环这个话题，又在百度文库看到网友MolochR发表大一篇帖子，进而又了一些新的想法，这里浅谈一下。首先，我认为1和0.9循环是不相等的。在原帖中，给出了六种证明1=0.9循环的方法，这里先来回顾一下。解法一：解法二：设则两式相减得：解得a=1解法三：利用数轴，由夹逼学定理可得，0.9循环和1之间不存在任何一个数，所以0.9循环=1，也就是说，实数轴上两者之间没有空隙。解法四：有一点绕，用竖式计算1除以1，正常结果是商1余0，这里我们不要直接商1，而是商0，那么余数则是1，添加一个0

2、，然后商9，即10-9=1，又得余数为1，周而复始，结果会是1/1=0.9循环。解法五：极限，等比数列求和公式为[a1（1-q^n）]/（1-q），那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是q1/（1-q），由于循环小数0.aaaaaaaaaa循环=a/10+a/100+a/1000......,它的每一个加数刚好构成一个无穷等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/（1-q）计算0.9循环，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9循环=0.9/（1-1/10）=1解法六：无穷数集0.9循环0.9循环=0.9+0.09+0.009+.

3、........An=(9/10)^n则Lim（n->∞）∑An=1即该无穷数集收敛于1所以0.9循环=1这些证明看起来完美无缺，天衣无缝。刚才在抄完网友MolochR的原帖内容以后，又去百度百科看了一眼，甚是气愤，看到了这样一则言论0.9循环等不等于1我不知道，但是我看到把灵长类动物这样分级就很不爽呢？其实我非常赞成上图中TheStraightDope引用的所谓低级灵长类的话语。0.999...其实不是表示一个数，而是表示一个过程。我们必须把那个过程停止下来，来寻找那个数，这样0.999...=1的等式便土崩瓦解了。闲篇扯到这里，下面我谈一下我的想法。接下来，

4、从解法一入手第一步，1/3这个表示方式，没有问题。那么，1/3写成小数形式，准确的表达该是什么样儿的呢？1/3=商0.3余0.01=商0.33余0.001=商0.333余0.0001=商0.3333余0.00001......不难看出，一直除下去，总会有一个余数0.0...1存在。那，如果是无限除下去呢？余数就不存在了？这里我们需要一个无穷小量ε。也就是可以理解为这里ε是无穷小量这里插一句无穷小量的特性：1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。5、

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。关于无穷小量，到底存不存在，在什么数系中怎样定义，阿基米德原理中不存在无穷非零小量我们姑且不谈（因为，谈不了，太深奥了）这里，仅阐述个人想法。So，有了以上理解。所以解法一不攻自破。首先，而是。So~对于解法二，也就是位数操作法，乍一看，似乎无懈可击，但仔细分析一下，似乎不那么严谨。我们还是从低位来看一下规律。9.9-0.99=8.919.99-0.999=8.9919.999-0.9999=8.9991……那么所以解法二中这里我们是提前做了一个假设，9.9和0.9中的9，循环速度一样，所以能做到等位相减。

6、同样的道理，解法四中的1/1，并没有算完，余数永远存在，所以准确一点的表达式应该是循环的概念不就是极限吗？那0.9循环后面不就是无限个9吗？也就是说0.9循环无限接近1，或者说无限趋近于1，既然是无限趋近，那为什么为还会相等呢？极限，就是极限，不是等于。剩下的集中解法，包括夹逼学，都是在极限定义下所得出的结论，这里不再赘述了。相关：1.夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。2.在数学中，一个柯西列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说，在去掉有限个元素后，可

7、以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。3.p进数编辑(p-adicnumbers)由KurtHensel在1908年首先引入。对每个质数p,p进数系统将有理数的普通算术用一种不同于实数和复数系统的方法进行了扩展。这是通过对绝对值这一概念的另一种解释来达成的。p进数主要是被一次将幂级数的思想和技术引入到数论中的尝试所推动，但它们现在的影响不止于此。例如，p进数分析这一领域实际上提供了另一种形式的微积分。更精确的讲，给定一个质数p，p进数的域Qp是有理数的扩展.把所有Qp域放在一起考量,我们就有了HelmutHasse的局部-全体原则,

8、该原则大意是特定方程组在