线性代数资料.doc

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1、行列式行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。矩阵矩阵，Matrix。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。发展历史具体内容1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1

2、783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。1855年，埃米特(C.He

3、rmite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵

4、的一些重要性质。线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。克莱姆法则具有二、三、四个未知量的线性方程组麦克劳林克莱姆18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。19世纪，英国数学家史密斯(H.Smith)和道奇森(C-L.Dodgson)继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩

5、阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。最先使用有方向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．应用（教学）、问题的提出在利润规划教学中，经常使用图解法求得利润规划问题的最优解。图解法是寻求最优解的一种有效方法⋯，由于采用解析几何方法求解，直观易懂，图解法易于被学生掌握。不过，对于三种以上产品的利润规划问题，问题变得复杂了，由于可行区域不再是一个平面区域，基于平面解析几何的图解法无能为力。这时，通常采用单纯形法确定最优解。单纯形法是从一个基本可行解出发，经过有限次的换基运算，逐渐改善直至获得最优的目标函数值或判明问题无解为止。利用单纯形法求解利润规划十分高效

6、。然而，单纯形法多采用表格形式进行运算，求解过程较为烦琐。在利润规划教学中发现，学生通常能够完成建模和模型的标准化过程，但是利用单纯形表法求解则掌握得不理想。这里有学生线性代数基础较差的原因，但更主要的因素是单纯形表法是在多维可行区域中寻求最优解，并且求解过程步骤较多。其实，利用单纯形矩阵进行利润规划的优化，运算过程可以更为简易。本文试图通过一个算例，说明在利润规划教学中，利用单纯形矩阵简易解法的原理和过程。松弛变量是线性规划里的一个名词.松弛变量对应的是小于等于约束，说明这个约束还有余地，还有一定量的资源没有用依据标准形，按照约束方程(1)、(2)和目标方程(0)中变

7、量系数和常数项的顺序，写出初始单纯形矩阵初始单纯形矩阵的一般形式为：通过教学实践发现，利用这种解法的三大法和六小步，学生掌握利润规划问题的程度有显著提高。可见，单纯形矩阵简易解法简化了运算过程，是利润规划问题一种很好的解法，有必要在教学中加以推广应用。