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1、《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分）1、φXt=EejtX2、acosωt+π3,acosωt-π4.(任意两条即可)3、Nt为参数λ的poison过程，{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且与Nt相互独立，则称Yt=n=1NtXn为复合poison过程。4、二重积分ababRXs,tdsdt存在且有限。二、（本题10分）解：（1）PN12-N8=0=e-12.(5分)（2）fTt=3e-3tt>00t≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。（4分）（2
2、）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P1=0.60.40.40.6，P2=0.60.40.20.8(6分)记z1=(z11,z21)，z2=(z12,z22)，求解方程组z1=z1P1，z11+z21=1z2=z2P2,z12+z22=1得z1=12,12,z2=13,23。则平稳分布为（10分）π=λ12,λ23,0,λ12,2λ23(12分)四、（本题13分）解：（1）Q=-λλμ-(λ+μ)00λ00μ00-(λ+μ)λμ-μ（4分）前进方程dP(t)dt=P(t)Q（6分）后退方程dP(t)dt=QP(t)（8分）（2
3、）由πQ=0，∑π=1,π=(π0,π1,π2,π3)解得平稳分布为π0=1-λμ1-λμ4,π1=λμ1-λμ1-λμ4,π2=λμ21-λμ1-λμ4,π3=λμ31-λμ1-λμ4(13分)五、（本题13分）解：（1）对任意的t1,t2,⋯,tn∈R，Zt1Zt2⋮Ztn=t12t22⋮tn22t12t2⋮2tnXY+-2-2-2-2因X,Y是相互独立的正态分布，所以XY是正态分布，又线性变换的性质可知Zt1,Zt2,⋯,ZtnT服从多元正态分布，故Zt是正态过程。（5分）（2）RZs,t=s2t2σX2+4stσY2+4，所以非平
4、稳。（8分）RZs,t在t,t处连续，则Zt是均方连续的。（10分）∂2RZs,t∂s∂t=4σX2st+4σY2在t,t处连续，则RZs,t广义二阶可导，故Zt是均方可导的。（13分）六、（本题12分）解：Xt,X't服从正态分布，均值为0,0，协方差矩阵为Σ=RX0RX'0RX'(0-R''X0（5分）联合概率密度为fXX'x1,x2=12πΣ12exp(-12xTΣ-1x)其中x=x1x2（7分）（2）RX(0)RXτRX'(0)-RX'(τ)RXτRX(0)RX'(τ)RX'(0)RX'(0)-RX'(τ)RX'(τ)RX'(0)
5、-R''X0-R''Xτ-R''Xτ-R''X0（12分）七、（本题12分）解：（1）(2分)（6分）（2）所以均值具有各态遍历性。（8分）所以自相关函数不具有各态遍历性。（12分）八、（本题12分）解：（1）Hjω=Lejωtt=0=1Tt-TtXudut=0=1T-T0ejωudu=1T1-e-jωTjω（3分）ht=1/T0≤t≤T0其他（5分）（2）sXω=s0，sYω=Hjω2s0(7分)Yt的平均功率为RY0=12π-∞+∞sYωdω=12π-∞+∞Hjω2s0dω=12π-∞+∞4sin2ωT2ω2T2s0dω=s0T（12
6、分）
