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1、.第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为*KG(s)H(s)(s1)(s2)(s4)*试证明s11j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K和开环增益K。解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件G(s)H(s)(2k1)，如图所示。对于s1j3，由相角条件G(s1)H(s1)0(1j31)(1j32)(1j34)0236满足相角条件，因此s1j3在根轨迹上。1将s1代入幅值条件：*KG(s1)H（s）111j311j321j34**K3解出：K12，K824-2已知单位反馈系统的开环传递函
2、数如下，试求参数b从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出b2时系统的闭环传递函数。2010(s2b)（1）G(s)（2）G(s)(s4)(sb)s(s2)(sb)b(s4)b(s4)解(1)G(s)2s4s20(s2j4)(s2j4)..G(s)20(s)21G(s)s6s282b(s2s20)b(s1j19)(s1j19)(2)G(s)=2s(s2s10)s(s1j3)(s1j3)G(s)10(s4)(s)321G(s)s4s14s402s4-3已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)，试绘制参数b从零
3、变(s4)(sb)化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。b(s4)解G(s)s(s6)根轨迹如图。s2时b4，2s2s(s)2s10s16(s2)(s8)4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。kk(s1)⑴G(s)(2)G(s)s(0.2s1)(0.5s1)s(2s1)*k(s5)k*(s1)(s2)(3)G(s)(4)G(s)s(s2)(s3)s(s1)K10K解⑴G(s)s(0.2s1)(0.5s1)s(s5)(s2)三个开环极点：p10,p22,p35
4、①实轴上的根轨迹：,5,2,0..0257a33②渐近线：(2k1)a,33③分离点：1110dd5d2解之得：d10.88，d23.7863(舍去)。④与虚轴的交点：特征方程为32D(s)s7s10s10k02Re[D(j)]710k0令3Im[D(j)]10010解得k7与虚轴的交点（0，10j）。根轨迹如图所示。K(s1)K(s1)⑵G(s)s(2s1)12s(s)2根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：,1,0.5,0111②分离点：dd0.5d1解之得：d0.293,d1.707。根轨迹如图所示。
5、⑶根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：5,3,2,0..023(5)a02②渐近线：(2k1)a221111③分离点：dd2d3d5用试探法可得d0.886。根轨迹如图所示。(4)根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：[0,1],[-1,-2]1111②分离点：dd1d1d2求解得：d10.37，d21.37根轨迹如图所示。4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为kG(s)s(0.02s1)(0.01s1)要求：(1)绘制系统的根轨迹；(2)确定系统临界稳定时开环增益k的值；(3)确定系统临界阻尼比时开环增益k
6、的值。k5000k解(1)G(s)s(0.02s1)(0.01s1)s(s50)(s100)①实轴上的根轨迹：[0,-50],[-100,-]111②分离点：0dd50d100求解得d121.13，d278.87oo③渐近线：50，60，180aa..根轨迹如图所示。*(2)系统临界稳定时k750000，k150*(3)系统临界阻尼比时k48112.5，k9.62*k4-6已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)，要求绘制根轨迹并确2s(s8s20)定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。K解G(s
7、)H(s)2s(s8s20)①实轴上的根轨迹：,0②渐近线：0(4j2)(4j2)8a33(2k1)a,33111③分离点：0dd4j2d4j2解之得：d2,d3.33。32④与虚轴交点：D(s)s8s20sk把sj代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：2Re(D(j))k803Im(D(j))200025解得：k0k160⑤起始角：由相角条件p63，p63。23..根轨迹如图所示。*所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时14.8k16，所以0.74k0.8k(2s1)4-7单位反馈系统的开环传递函数
8、为G(s)，24(s1)(s1)7试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。解：根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：0.5，7/4②渐近线：117/4(0.5)1a28(2k1)a22③与虚轴交点：闭环特征方程为431210D(s)ss(2k)sk10777把sj代入上方程，12Re(D(j))K10令71043Im(D(j))(2K)07720解得：，9K1K7根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K值范围为1K97。4-8已知控制系统的
