根轨迹法习题和答案.docx

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1、.第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为K*G(s)H(s)(s1)(s2)(s4)试证明s11j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K*和开环增益K。解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件G(s)H(s)(2k1)，如图所示。对于s1j3，由相角条件G(s1)H(s1)0(1j31)(1j32)(1j34)0362满足相角条件，因此s1j3在根轨迹上。1将s1代入幅值条件：G(s)H（s）K*1111j311j321j34解出：K*12，KK*3824-2已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b从零变

2、化到无穷大时的根轨迹方程，并写出b2时系统的闭环传递函数。（1）G(s)20（2）G(s)10(s2b)4)(sb)s(s2)(sb)(s解(1)G(s)b(s4)b(s4)s24s20(s2j4)(s2j4)..G(s)20(s)s26s281G(s)(2)G(s)b(s22s20)b(s1j19)(s1j19)s(s22s10)=s(s1j3)(s1j3)(s)G(s)10(s4)1G(s)s34s214s404-3已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)2s，试绘制参数b从零变(s4)(sb)化到无穷大时的根轨迹，并写出s

3、=-2这一点对应的闭环传递函数。解b(s4)G(s)6)s(s根轨迹如图。s2时b4，(s)2s2ss210s16(s2)(s8)4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。⑴G(s)k(2)k(s1)1)(0.5s1)G(s)1)s(0.2ss(2sk*(s5)(4)k*(s1)(s2)(3)G(s)2)(s3)G(s)s(ss(s1)解⑴G(s)K10Ks(s5)(s2)s(0.2s1)(0.5s1)三个开环极点：p10,p22,p35①实轴上的根轨迹：,5,2,0..a②渐近线：a③分离点：025733

4、(2k1),331110dd5d2解之得：d10.88，d23.7863(舍去)。④与虚轴的交点：特征方程为D(s)s37s210s10k0Re[D(j)]7210k0令)]3100Im[D(j10解得k7与虚轴的交点（0，10j）。根轨迹如图所示。⑵K(s1)K(s1)G(s)1)1s(2s2s(s)2根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：②分离点：,1,0.5,0111dd0.5d1解之得：d0.293,d1.707。根轨迹如图所示。⑶根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：5,3,2,0..023(5)a0②渐近线：2(2k1)

5、a22③分离点：1111dd2d3d5用试探法可得d0.886。根轨迹如图所示。(4)根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：[0,1],[-1,-2]②分离点：1111dd1d1d2求解得：d10.37，d21.37根轨迹如图所示。4-5已知单位反馈系统的开环传递函数为kG(s)s(0.02s1)(0.01s1)要求：(1)绘制系统的根轨迹；(2)确定系统临界稳定时开环增益k的值；(3)确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。解(1)G(s)k5000k1)(0.01s1)s(s50)(s100)s(0.02s①实轴上的根轨迹：[0,

6、-50],[-100,-]②分离点：1110dd50d100求解得d121.13，d278.87③渐近线：a50，a60o，180o..根轨迹如图所示。(2)系统临界稳定时k*750000，k150(3)系统临界阻尼比时k*48112.5，k9.624-6已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)2k*，要求绘制根轨迹并确8ss(s20)定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。解G(s)H(s)K8s20)s(s2①实轴上的根轨迹：,0②渐近线：aa0(4j2)(4j2)833(2k1),33③分离点：1110dd4j2d

7、4j2解之得：d2,d3.33。④与虚轴交点：D(s)s38s220sk把sj代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：Re(D(j))k82Im(D(j))20300解得：025k0k160⑤起始角：由相角条件p263，p363。..根轨迹如图所示。所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时14.8k*16，所以0.74k0.84-7单位反馈系统的开环传递函数为G(s)k(2s1)，(s1)2(4s1)7试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。解：根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：0.5，7/4②渐近线：aa117/4(

8、0.5)128(2k1)22③与虚轴交点：闭环特征方程为D(s)4s31s2(2k10)sk10777把sj代入上方程，Re(D(j))K1120令7Im(D(j))(2K10)4307702解得：，9K1K7根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K值范围为1K97。4-8已知