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1、第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为*KG(s)H(s)=(s+1)(s+2)(s+)4试证明点s=−1+j3在根轨迹上，并求出相应1*的根轨迹增益K和开环增益K。解若点s在根轨迹上，则点s应满足相角条11件∠G(s)H(s)=±2(k+)1π，如图解4-1所示。对于s=−1+j3，由相角条件∠G(s1)H(s1)=0−∠(−1+j3+)1−∠(−1+j3+)2−∠(−1+j3+)4=πππ0−−−=−π236满足相角条件，因此s=−1+j3在根轨迹上。将s代入幅值条件：11*KG(s1)H（s1）==1
2、−1+j3+1⋅−1+j3+2⋅−1+j3+4**K3解出：K=12，K==824-2已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。（ａ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）1（ｅ）（ｆ）（ｇ）（ｈ）题4-22图开环零、极点分布图解根轨如图解4-2所示：图解4-2根轨迹图4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。K⑴G(s)=s2.0(s+1)(5.0s+)1*K(s+)5⑵G(s)=s(s+2)(s+)3K(s+)1⑶G(s)=s2(s+)12K10K解⑴G(s)==s2.0(s+1)(5.0s+)1s(s+
3、5)(s+)2系统有三个开环极点：p1=0,p2=−2,p3=−5①实轴上的根轨迹：(−∞,−5],[−0,2]⎧0−2−57σa==−⎪⎪33②渐近线：⎨⎪2(k+)1ππϕa==±,π⎪⎩33③分离点：111++=0dd+5d+2解之得：d=−.088，d−.37863(舍去)。1232④与虚轴的交点：特征方程为D(s)=s+7s+10s+10k=02⎧Re[D(jω)]=−7ω+10k=0令⎨3⎩Im[D(jω)]=−ω+10ω=0⎧ω=10解得⎨⎩k=7与虚轴的交点（0，±10j）。根轨迹如图解4-3(a)所示
4、。⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：[]−,5−3,[−0,2]⎧0−2−3−(−)5σa==0⎪⎪2②渐近线：⎨⎪2(k+)1ππϕa==±⎪⎩221111③分离点：++=dd+2d+3d+5用试探法可得d=−.0886。根轨迹如图解4-3(b)所示。3K(s+)1K(s+)1⑶G(s)==s2(s+)112s(s+)2根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：(−∞,−1],[−0,5.0]111②分离点：+=dd+5.0d+1解之得：d=−.0293,d=−.1707。根轨迹如图解4-3(c)所示。4-4已知单位反馈系
5、统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。*K(s+)2⑴G(s)=(s+1+j2)(s+1−j)2*K(s+20)⑵G(s)=s(s+10+j10)(s+10−j10)*K(s+)2解⑴G(s)=(s+1+j2)(s+1−j)2根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：(−∞,−2]111②分离点：+=d+1+j2d+1−j2d+2解之得：d=−.423③起始角：οοοοθ=180+63.435−90=153.43p1ο由对称性得另一起始角为−153.43。根轨迹如图解4-4(a)所示。*K(s+20)⑵G(s)=s(s+1
6、0+j10)(s+10−j10)系统有三个开环极点和一个开环零点。根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：[]−200,4οοοο②起始角：θ=180+45−90−135=0°根轨迹如图解4-4(b)所示。4-５已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。∗K⑴G(s)H(s)=2s(s+8s+20)∗K⑵G(s)H(s)=s(s+1)(s+2)(s+)5∗K(s+)2⑶G(s)H(s)=2s(s+3)(s+2s+)2∗K(s+)1⑷G(s)H(s)=2s(s−1)(s+4s+16)∗K解⑴G(s)H(s)=2s(s+8
7、s+20)①实轴上的根轨迹：(−∞0,]②渐近线：⎧0+(−4+j)2+(−4−j)28σa==−⎪⎪33⎨⎪2(k+)1ππϕa==±,π⎪⎩33111③分离点：++=0dd+4+j2d+4−j2解之得：d=−,2d=−.333。32∗④与虚轴交点：D(s)=s+8s+20s+K把s=jω代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：∗2⎧Re(D(jω))=K−8ω=0⎨3⎩Im(D(jω))=20ω−ω=05⎧ω=0⎧⎪ω=±25解得：⎨⎨∗∗⎩K=0⎪⎩K=160οο⑤起始角：由相角条件θ=−63，θ=63。p2p
8、3根轨迹如图解4-5(a)所示。∗K⑵G(s)H(s)=s(s+1)(s+2)(s+)5①实轴上的根轨迹：[]−,5−,2[−0,1]⎧0+(−)5+(−)2+(−)1σa==−2⎪⎪4②渐近线：⎨⎪2(k+)1ππ3πϕa==±,⎪⎩4441111③分离点：+++=0dd+1d+2d+5解之得：d=−.406,d=−.0399,
