2013高三数学第一轮总复习114数学归纳法理新人教A版.doc

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1、11-4数学归纳法(理)基础巩固强化1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于(　　)A．1　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．7[答案]　C[解析]　n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)A．1　　　　B

2、．2　　　　C．3　　　　D．4[答案]　C[解析]　因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n0＝3.3．若f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为(　　)A．1B.C．1＋＋＋＋D．非以上答案[答案]　C[解析]　注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n－1的自然数，故f(1)＝1＋＋＋＋.4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．an＝3n－2B．an＝n2C．an＝3n－

3、1D．an＝4n－3[答案]　B[解析]　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项B．f(n)中共有n＋1项C．f(n)中共有n2－n项D．f(n)中共有n2－n＋1项[答案]　D[解析]　f(n)的分母从n开始取自然数到n2止，共有n2－(n－1)＝n2－n＋1项．6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如

4、此继续下去……则第n个图共挖去小正方形(　　)A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.(8n－1)个D.(8n＋1)个[答案]　C[解析]　第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案]　2k＋18．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋

5、2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点．[答案]　n(n＋1)[解析]　当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个．9．已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线

6、段An－2An－1的中点，…，(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析]　(1)当n≥3时，xn＝.(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，a3＝x4－x3＝－x3＝－(x3－x2)＝a，由此推测an＝(－)n－1a(n∈N*)．证法1：因为a1＝a>0，且an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－xn－1)＝－an－1(n≥2)，所以an＝(

7、－)n－1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－)0a，公式成立．(2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－)k－1a成立．那么当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)k－1a＝(－)(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an＝(－)n－1a成立．10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说

8、明理由．[解析]　∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，及a2≥(a1＋1)2－1得，a2≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时