江苏省2019高考数学二轮复习第23讲与几何相关的应用题课件.ppt

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1、第23讲与几何相关的应用题第23讲　与几何相关的应用题1.一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;(2)无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.解析(1)设缉私艇在C处与走私船相遇(如图甲),图甲依题意,A

2、C=3BC.在△ABC中,sin∠BAC=sin∠ABC==.因为sin17°≈,所以∠BAC=17°.从而缉私艇应向北偏东47°方向追击.在△ABC中,cos120°=,解得BC=≈1.68615.又B到边界线l的距离为3.8-4sin30°=1.8,1.68615<1.8,所以能在领海内成功拦截走私船.(2)如图乙,以A为原点,正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.图乙则B(2,2),设缉私艇在P(x,y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇,则=3,即=3.整理得+=,所以点P(x,

3、y)的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.因为圆心到领海边界线l:x=3.8的距离为1.55,大于圆的半径,所以缉私艇总能在领海内截住走私船.2.如图所示,某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AB上建一个活动中心,其中AE=30米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD,上半部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tanθ=.(1)若

4、设计AB=18米,AD=6米,问能否保证上述采光要求;(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18米,AD=6米,所以半圆的圆心为H(9,6),半径r=9,设太阳光线所在直线的方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,则由=9,解得b=24或b=(舍).故太阳光线所在直线的方程为y=-x+24,令x=30,得EG=1.5米<2.5米.所以能保证采光要

5、求.(2)设AD=h米,AB=2r米,则半圆的圆心为H(r,h),半径为r.设太阳光线所在直线的方程为y=-x+b,即3x+4y-4b=0,由=r,解得b=h+2r或b=h-2r(舍).故太阳光线所在直线的方程为y=-x+h+2r,令x=30,得EG=2r+h-,由EG≤2.5,得h≤25-2r,所以S=2rh+πr2=2rh+×r2≤2r(25-2r)+×r2=-r2+50r=-(r-10)2+250≤250.当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,可使得活动中心的截面面积最大.题型一　

6、与平面几何相关的应用题例1(2018徐州高三年级考前模拟)图1是一个仿古的首饰盒,其左视图是由一个半径为r分米的半圆及矩形ABCD组成,其中AD长为a分米,如图2.为了美观,要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r分米,容积为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米1百元,上半部分制作费用为每平方分米2百元,设该首饰盒的制作费用为y百元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)当r为何值时,该首饰盒的制作费用最低?图1　　　　　　　　　图

7、2解析(1)由题意可知:4=4r=2πr3+8ar2,所以a==.又因为r≤a≤2r,所以≤r≤.所以y=4r(2a+2r)+4ar+2(πr×4r+πr2)=12ar+8r2+10πr2=12r×+8r2+10πr2=+(8+7π)r2,定义域为(2)令f(r)=+(8+7π)r2,所以f'(r)=-+(16+14π)r,令f'(r)=0,即=(16+14π)r,解得r=,当r>时,f'(r)>0,函数y=f(r)为增函数;当r<时,f'(r)<0,函数y=f(r)为减函数.又因为≤r≤,所以函数y=f(r

8、)在上为增函数,所以当r=时,首饰盒制作费用最低.【核心归纳】　弄清平面图形的结构及相关定理、结论,由此建立目标函数,再根据目标函数的特征选择函数、导数或不等式解决问题.题型二　与立体几何相关的应用题例2(2017江苏,18)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm