江苏省2019高考数学二轮复习 第23讲 与几何相关的应用题冲刺作业

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1、第23讲　与几何相关的应用题1.(2018南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三模拟)如图,OM,ON是某景区的两条道路(宽度忽略不计),其中OM为东西走向,Q为景区内一景点,A为道路OM上一游客休息区.已知tan∠MON=-3,OA=6百米,Q到直线OM,ON的距离分别为3百米,6105百米.现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸与道路ON交于点B,并在B处修建一游客休息区.(1)求有轨观光直路AB的长;(2)已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型音乐喷泉组合,喷泉表演一次的时长为9分钟.表演时,喷泉喷

2、洒区域以P为圆心,r为半径且变化,且t分钟时,r=2at百米(0≤t≤9,0

3、域,其中点P在半圆弧上,AD分别与PB,PC相交于点E,F.(道路宽度忽略不计)(1)若PB经过圆心,求点P到AD的距离;(2)设∠POD=θ,θ∈0,π2.①试用θ表示EF的长度;②当sinθ为何值时,绿化区域面积之和最大.答案精解精析1.解析　(1)以点O为坐标原点,直线OM为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则由题意得A(6,0),直线ON的方程为y=-3x,Q(x0,3)(x0>0),由

4、3x0+3

5、10=6105,解得x0=3(舍x=-5),所以Q(3,3).故直线AQ的方程为y=-(x-6),即x+y-

6、6=0,y=-3x,x+y-6=0,解得x=-3,y=9,即B(-3,9).所以AB=92.(2)将喷泉记为圆P,由题意可得P(3,9),设t分钟时,观光车在直路AB上的点C处,则BC=2t,0≤t≤9,所以C(-3+t,9-t).若喷泉不会洒到观光车上,则PC2>r2对t∈[0,9]恒成立,即PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36>4at,当t=0时,上式成立,当t∈[0,9]时,2a

7、车不会被喷泉喷洒到.2.解析　以AD所在直线为x轴,以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.(1)直线PB的方程为y=2x,半圆O的方程为x2+y2=402(y≥0),由y=2x,x2+y2=402(y≥0),得y=165.所以点P到AD的距离为165m.(2)①由题意,得P(40cosθ,40sinθ).直线PB的方程为y+80=sinθ+2cosθ+1(x+40),令y=0,得xE=80cosθ+80sinθ+2-40=80cosθ-40sinθsinθ+2.直线PC的方程为y+80=sinθ+2cosθ-1

8、(x-40),令y=0,得xF=80cosθ-80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2.所以EF的长度为f(θ)=xF-xE=80sinθsinθ+2,θ∈0,π2.②区域IV、VI的面积之和为S1=12×80-80sinθsinθ+2×80=6400sinθ+2,区域II的面积为S2=12×EF×40sinθ=12×80sinθsinθ+2×40sinθ=1600sin2θsinθ+2,所以S1+S2=1600sin2θ+6400sinθ+20<θ<π2.设sinθ+2=t,则2

9、+S2=1600(t-2)2+6400t=1600t+8t-4≥1600(42-4)=6400(2-1),当且仅当t=22,即sinθ=22-2时“=”成立.此时休闲区域II、IV、VI的面积S1+S2最小,即绿化区域面积之和最大.