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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义f(x2)f(x1)1.函数的平均变化率：函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为：。x2x12.导数的定义：设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x无限趋近于0时，比值yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数A，则称函数f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xxxx0处的导数，记作f(x0)。函数f(x)在xx0处的导数的实质是在该
2、点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量yf(x0x)f(x0)；（2）求平均变化率：f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)；（3）取极限，当x无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则xxf(x0)A.4.导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出yf(x)在x0处的导数，即为曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线
3、方程为yy0f(x0)(xx0)。当点P(x0,y0)不在yf(x)上时，求经过点P的yf(x)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为xx0。5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则VS(t)表示瞬时速度，av(t)表示瞬时加速度。二、导数的运算1.常见函数的导数：（1）(kxb)k(k,b为常数)；（2）C0(C为常数)；2（3）(x)1；（
4、4）(x)2x；3211（5）(x)3x；（6）()；2xxαα1（7）(x)1；（8）(x)αx（α为常数）；2x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9）(x)xln(0,1)11aaaaa；（10）(logax)logae(a0,a1)；xxlnaxx1（11）(e)e；（12）(lnx)；x（13）(sinx)cosx；（14）(cosx)sinx。2.函数的和、差、积、商的导数：（1）[f(x)g(x)]f(x)g(x)；（2）[Cf(x)]Cf(x)
5、（C为常数）；f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)（3）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x);（4）[]2(g(x)0)。g(x)g(x)3.简单复合函数的导数：若yf(u),uaxb，则yxyuux，即yxyua。三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数；（2）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数；（3）如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a
6、,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域；②求导数f(x)；③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间)；(2)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间
7、)；(3)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。2.求函数的极值：设函数yf(x)在x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值）。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的全部实根，x1x2xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(x)和f(x)值的变化情况：x(,x1)x1(x1,x2)⋯x
8、n(xn,)f(x)正负0正负0正负f(x)单调性单调性单调性（4）检查f(x)的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是
