导数知识点总结.pdf

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1、。导数知识要点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1.导数（导函数的简称）的定义：设x是函数yf(x)定义域的一点，如果自变0量x在x处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(xx)f(x)；比值000yf(xx)f(x)00称为函数yf(x)在点x到xx之间的平均变化率；如果极xx00yf(xx)f(x)限limlim00存在，则称函数yf(x)在点x处可导，并把这个x0xx0x0极限叫做yf(x)在x处的导数，记作f'(x

2、)或y'

3、，即00xx0yf(xx)f(x)f'(x)=limlim00.0x0xx0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.②已知函数yf(x)定义域为A，yf'(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.2.函数yf(x)在点x处连续与点x处可导的关系：00⑴函数yf(x)在点x处连续是yf(x)在点x处可导的必要不充分条件.00可以证明，如果yf(x)在点x处可导，那么yf(x)点x处连续.00事实上，令xxx，则xx相当于x0.00-可编辑修改-。于是limf(x)limf(x

4、x)lim[f(xx)f(x)f(x)]0000xx0x0x0f(xx)f(x)f(xx)f(x)lim[00xf(x)]lim00limlimf(x)f'(x)0f(x)f(x).x0x0x0xx0x00000⑵如果yf(x)点x处连续，那么yf(x)在点x处可导，是不成立的.00例：y

5、x

6、f(x)

7、x

8、在点x0处连续，但在点x0处不可导，因为，当x＞00xx0时，yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limxxx0x注：①可导的奇函数函数其导函数

9、为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数yf(x)在点x处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x,f(x))处的切线00的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率是f'(x)，切线00方程为yyf'(x)(xx).004、几种常见的函数导数：C'0（C为常数）(xn)'nxn1（nR）(sinx)'cosx(cosx)'sinx11(lnx)'(logx)'logexaxa(ex)'ex(ax)'axlna5.求导数的四则运算法则：(uv)'u'v'yf(x)f(

10、x)...f(x)y'f'(x)f'(x)...f'(x)12n12n(uv)'vu'v'u(cv)'c'vcv'cv'（c为常数）u'vu'v'u(v0)vv2注：①u,v必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设f(x)2sinx2，g(x)cosx2，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们xx和f(x)g(x)sinxcosx在x0处均可导.-可编辑修改-。6.复合函数的求导法则：f'((x))f'(u)'

11、(x)或y'y'u'xxux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.7.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数yf(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则yf(x)为常数.注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为

12、零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.8.极值的判别方法：（极值是在x附近所有的点，都有f(x)＜f(x)，则f(x)是000函数f(x)的极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x处连续时，0①如果在x附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x)是极大值；00②如果在x附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x)是极小值.00也就是说x是极值点的充分条件是x点两侧导数异号，而不是f'(x)=0①.此00外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的