第13讲巧解弦图和面积.doc

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1、才子教育小学奥数系列第13讲巧解“弦图”与面积巧点睛——方法和技巧三国时期，吴国数学家赵爽在为数学巨著《周髀算经》注释时，就得用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小下方形，如图所示。“弦图”的特点：（1）小长方形长宽之各=大正方形边长；（2）小长方形长宽之差=小正方形边长。根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10

2、，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是。解由题给条件“正方形与阴影长方形的边分别平行”（或直观上观察）知，正方形四角处的四个四边才子教育小学奥数系列形都为长方形，而四边形ABCD的各边都分别平分这四个长方形，所以，四边形ABCD的面积=四角处四个长方形面积和的一半+6=（10×10-6）÷2+6=47+6=53。做一做1四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如右图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。问：长方形的短边是几米？【例2】如图1，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米

3、。如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析要求出大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长即可。图1下面设法求这两个量中的某个量。图2与图1有类似之处，添辅助线将图1变成图2，就成了一人“弦图”。图2中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为12÷4=3（厘米2）。又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为3÷1=3（厘米）。大正方形的边长为4厘米，这样就可以求出面积了。解法1一个长方形的面积：12÷4=3（厘米2），长方形的长：3÷1=3（厘米），才子教育小学奥数系

4、列图2大下正方形的边长：3+1=4（厘米），大正方形的面积：4×4=16（厘米2）。采用与解法1类似的想法还可以找到下面的一此解法。解法2添辅助线，将图2变成图3，先求出图3中长方形A的面积。因为大正方形四角都是边长为1厘米的正方形，而剩下的四个长方形的形状和面积都一样，所以A的面积为AA图3（12-1×4）÷4=2（厘米2）又因为长方形A的宽为1厘米，它的长为2÷1=2（厘米），所以大正方形的为12+2×2=16（厘米2）解法3添辅助线，将图2变为图4。图4中4个梯形的形状和面积都一样，所以每个梯形的面积为12÷4=3（厘米2）。图

5、4梯形面积等于上、下底之和乘以高再除以2，每个梯形上、下底（即大、小正方形的两个边长）之和为3×2÷1=6（厘米），而大、小正方形的边长差为2厘米，所以大正方形的边长为4厘米。大正方形的面积为4×4=16（厘米2）。解法4适当移动小正方形后，再添辅助线，将图2变为图5。因图5中两个梯形的面积与形状都一样，所以一个梯形的面积为12÷2=6（厘米2）。和解法3类似，可求出梯形上、才子教育小学奥数系列图5下底之和与差分别为6厘米和2厘米。故梯形的上底（即大正方形的边长）为4厘米，大正文武有的面积为4×4=16（厘米2）。答：大正方形的面积是

6、16平方厘米。小结以上解法各有千秋，你还有其他的解法吗？做一做2计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，问：修建花坛需占地多少平方米？【例3】2002年在北京如开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长为2和3）。问：大正方形的面积是多少？解一个直角三角形的面积为3×2×=3。中间空出来的一块恰好是正方形，它的边长为3-2=1。所以，大正方形的面积为3×4+1×1=13。小结利用此图可以作出极具中国特色的勾股定理证明。设直角三角形的两条直角边分别为a和b（a

7、＞b，勾和股），斜边为c（弦），则4个直角三角形的面积等于4×ab=2ab，中间小正方形的边长为a-b，从而有c2=2ab+（a-b）2，c2=a2+b2。这就是著名的勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。做一做3才子教育小学奥数系列如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？【例4】同样大小的22个小纸片摆成如图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积之和。分析与解仔细观察图形，可发现中间三个图形的形状一样，且小长方形的长与宽之和愉好是大正方形的边长。由于5个

8、小纸片的长等于3个小纸片的长加上3个小纸片的宽，所以3个小纸片的宽等于2个小纸片的长。每个小纸片的长为18厘米，所以3个小纸片的宽为36厘米，每个小纸片的宽为12厘米。一个阴影小正方形的边长等于箍方形长与宽的差，即小正方