2015中考数学与函数有关的压轴题(解答题三).docx

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1、2015中考数学与函数有关的压轴题（解答题三）11.(2014年湖北咸宁23．（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】（1）填空：当m=0时，OP=　1　，PH=　1　；当m=4时，OP=　5　，PH=　5　；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．考点：二

2、次函数综合题．分析：（1）m记为P点的横坐标．m=0时，直接代入x=0，得P（0，﹣1），则OP，PH长易知．当m=4时，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP﹣（﹣2）．（2）猜想OP=PH．证明时因为P为所有满足二次函数y=﹣1的点，一般可设（m，﹣1）．类似（1）利用勾股定理和PH=yP﹣（﹣2）可求出OP与PH，比较即得结论．（3）考虑（2）结论，即函数y=﹣1的点到原点的距离等于其到l的距离．要求A、B两点到l距离的和，即A、B两点到原点的和，若AB不过点O，则

3、OA+OB＞AB=6，若AB过点O，则OA+OB=AB=6，所以OA+OB≥6，即A、B两点到l距离的和≥6，进而最小值即为6．解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．如图1，记PH与x轴交点为Q，当m=0时，P（0，﹣1）．此时OP=1，PH=1．当m=4时，P（4，3）．此时PQ=3，OQ=4，∴OP==5，PH=yP﹣（﹣2）=3﹣（﹣2）=5．（2）猜想：OP=PH．证明：过点P作PQ⊥x轴于Q，∵P在二次函数y=﹣1上，∴设P（m，﹣1），则PQ=

4、﹣1

5、，OQ=

6、m

7、，

8、∵△OPQ为直角三角形，∴OP=====，PH=yP﹣（﹣2）=（﹣1）﹣（﹣2）=，∴OP=PH．（3）解：如图2，连接OA，OB，过点A作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，此时AC即为A点到l的距离，BD即为B点到l的距离．[来则有OB=BD，OA=AC，在△AOB中，∵OB+OA＞AB，∴BD+AC＞AB．当AB过O点时，∵OB+OA=AB，∴BD+AC=AB．综上所述，BD+AC≥AB，∵AB=6，∴BD+AC≥6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．点评：本题考查了学生对函数与

9、其图象的理解，另外涉及一些点到直线距离，利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点，总体来说难度不高，但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣，非常值得学生练习．12.(2014年湖北咸宁24．（12分）)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD

10、与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为　45°　，点D的坐标为　（t，t）　（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．考点：四边形综合题；解一元一次方程；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：压轴题；探究型．分析：（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP=

11、45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．解答：解：（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴

12、∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD．∴AP=DQ，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）①若PB=PE，则∠PBE=∠PEB=45°．#om^]∴∠BPE=90°．∵∠BPD=90°∴∠BPE=∠BPD．∴点E与点D重合．∴点Q与点O重合．与条件“DQ∥y轴”矛盾，∴这种情况应