第十三章-非线性规划基础ppt课件.ppt

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1、第十三章非线性规划第一节非线性规划的基本概念第二节凸函数第三节最优性条件第四节非线性规划问题的算法第一节非线性规划的基本概念一、非线性规划模型二、非线性规划的几何求解一、非线性规划模型非线性规划的一般形式：称为决策变量称为不等式约束称为等式约束可行域称为目标函数1、局部解局部极大值局部极小值2、全局解全局最大值全局最小值局部最优解≠全局最优解线性规划问题的最优解在角点取到，对非线性规划问题，最优解在何处取到呢？二、非线性规划的几何求解例13.1求解下列非线性规划的最优解。作图求解例13.2求解下列非线性规划的最优解。作图求解例13.3求解下列非线性规划的最优解。作图求解线性

2、规划与非线性规划有很大的区别：如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在可行域的边界达到。而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在可行域的任何一点达到。第二节凸函数一、凸函数的基本概念二、凸函数的判断三、凸规划凸函数定义凹函数定义一、凸函数的基本概念凸函数凹函数非凸非凹函数凸函数具有如下性质二、凸函数的判断一元函数凸性的判断多元函数凸性的判断梯度：Hessian矩阵：f(x)=x13+3x1x2+x22，则f(x)的Hessian矩阵为：判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。D为凸集合，f(x)是定义在上的二次可微函数，则f(

3、x)为凸函数的充要条件为f(x)在任意一点的Hessian矩阵为半正定。则f(x)为凸函数的充要条件为：例13.4判别下列函数的凸凹性解：1）1）2）H(x1,x2)的两个顺序主子式分别H1(x1,x2)=4和H2(x1,x2)=8-4=4均大于0。所以f(x)为凸函数。2）H(x1,x2)的两个顺序主子式分别H1(x1,x2)=2>0和H2(x1,x2)=-4<0。所以f(x)不是凸函数。三、凸规划当f(x),g(x)为凸函数，h(x)=(h1(x),…,hl(x))是线性函数时，上述规划问题称为凸规划问题。凸规划的求解可借助下节的KKT定理。h(x)=(h1(x),…,

4、hl(x))=0第三节最优性条件一、无约束优化的最优性条件二、约束极值问题的最优性条件引入两个概念下降方向：可行方向：则称d为f(x)在点的下降方向。则称d为D在点的可行方向。定理13.6若f(x)在点可微，如果存在方向d，使，则使有一、无约束优化的最优性条件在无约束规划问题中，由于不涉及到可行域的问题，因此，只涉及下降方向。不涉及可行方向的问题。定理13.7（一阶必要条件）若f(x)在点可微，且为无约束优化问题（13.4）的局部最优解，则。定理13.8（二阶必要条件）若f(x)在点二阶连续可微，且点为无约束优化问题（13.4）的局部最优解。则且半正定。定理13.9（二阶充

5、分条件）设满足且正定，则点为无约束优化问题（13.4）的局部最优解。定理13.10若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，则的充分必要条件为无约束优化问题（13.4）的全局最优点和局部最优点。例13.5求函数f(x)的最优值点，即。正定解：所以为局部最小值点。二、约束极值问题的最优性条件在x点取到局部最优值的条件为：无解约束规划问题不仅涉及到目标函数，还涉及到可行域。因此既要考虑下降方向，还要考虑可行方向定理13.11（Gorden）：设，则Ax<0有解的充分必要条件为：不存在非零向量，使得。无解的充分必要条件为：存在不全为零的非负实数使上述定理的几何意义为：dA1A2

6、A3A3A1A2Ad<0有解Ad<0无解定理（Fritz-John）：问题（13.5）在点取到局部极小值，则存在不全为零的非负实数使例13.6：是下列优化问题的最优解，验证x满足Fritz-John定理。紧指标集I={1,2}如(w0,w1,w2)=(1,1,2)。因此，x满足Fritz-John定理。例13.7(0,2)T是下列优化问题的最优解，验证x满足Fritz-John定理(w0,w1,w2)=(0,k,2k)，w0=0因此，x满足Fritz-John定理。约束规格：线性无关定理（KKT）：设是问题（13.5）局部最优解，在处可微，在处连续，且线性无关，则存在不全为

7、零的非负实数使例13.8求下列问题的KKT点。KKT点：定理13.14.在问题（13.5）中，f,gi(i=1,…,m)是凸函数，，，在处可微，在处连续，且在处KKT条件成立，则是问题（13.5）全局最优解。第四节非线性规划问题的算法一、一维搜索法二、最速下降法minf(x)f:RnR是一阶连续函数无约束优化问题的极值条件基本迭代格式寻找搜索方向是无约束优化的关键问题一、一维搜索法一维搜索法是求解无约束优化的一种方法。它是沿射线xk+1=xk+tdk，求f(x)在该射线上的极小值，这一问题可转化为求一元函数的极小