第十三章能量法ppt课件.ppt

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1、第十三章能量法第13-1能量法概念第13-2应变能与余能的计算第13-3互等定理第13-4卡氏定理第13-5利用卡氏定理解超静定问题§13-1能量法概念一、外力功与应变能（变形能）弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功，用符号W表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变能（变形能），用符号U表示。二、能量守恒原理在弹性范围内，外力功W全部转变为变形能U(不考虑能量的损耗)。因此有W=U。三、能量法利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力

2、等计算的方法称为能量法。§13-2应变能与余能的计算一、外力功1.常力作功（F为恒力）2.变力作功（F从0逐渐增加到最终值）（线弹性体）广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）。式中：—广义力（力、力偶）—广义位移（线位移、角位移）二、应变能及比能（线弹性体）1.轴向拉伸与压缩时应变能u为比能，即单位体积的变形能。应变能：比能：a.轴力为常量：b.轴力为变量：dx段的伸长为：dx段的应变能：比能：

3、整个杆内的应变能：比能：应变能：2.纯剪切时的变形能3.圆轴扭转时的变形能a.扭矩为常量b.扭矩为变量：应变能：4.杆件受弯曲时的变形能应变能：应变能：a.纯弯曲时：一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上面积分应分段进行，然后求出其总和。应变能：5.组合变形时的应变能杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆件内同时有轴力FN(x)，扭矩Mn(x)，弯矩M(x)和剪力FS(x)存在。在忽略了剪力FS(x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为：注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。b.横力弯曲

4、时（剪力FS的影响忽略）解：求各梁的变形能从中可看出abc例试分别计算图示各梁的变形能三、余功、余能非线性弹性体1、非线性弹性体外力功和应变能余功和余能线性弹性体2、线性弹性体四、利用功能原理计算位移利用可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相对应的位移。解1、内力分析例直角水平圆截面折杆ABC受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。试求C处的垂直位移。BC杆：AB杆：3、利用功能原理求位移总变形能为：2、变形能计算例桁架如图所示，各杆

5、EA相同，利用功能原理求D点的垂直位移。解1、各杆内力2、应变能计算3、利用功能原理求位移§13-3互等定理一、弹性体的应变能与载荷的加载次序无关先加F1再加F2先加F2再加F1应变能为：应变能为：上述的力和位移均为广义力和广义位移。位移的第一个下标表示发生位移的位置，第二个下标表示引起该位移的载荷。三、位移互等定理对于线弹性体，若载荷F1和F2数值相等，则F2在点1沿F1方向引起的位移，等于F1在点2沿F2方向引起的位移。该定理称为位移互等定理。如果，则二、功的互等定理令U1=U2可得：对于线弹性体，

6、F1在F2处所引起的位移上所作的功，等于F2在F1处所引起的位移上所作的功。该定理称为功的互等定理。§13-4卡氏定理非线性弹性体一、卡氏第一定理(证明略)卡氏第一定理：弹性结构的应变能对于结构上与某个载荷相对应的位移的偏导数，等于该载荷的数值。二、余能定理（克劳迪-恩格塞定理）弹性体在载荷作用下F1，F2，……Fn，各载荷作用点沿载荷方向的位移为弹性体的余能应等于外力的余功，即余能定理：弹性结构的余能对作用在结构上的某个载荷的偏导数，等于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。若第i个载荷Fi产生一个微小增

7、量dFi，其他载荷值不变，则余功增量为,相应的余能也有一个增量余能的增量应等于余功的增量证得：三、卡氏第二定理线性弹性体对于线性弹性体：由余能定理可得：卡氏第二定理：线弹性结构的应变能对作用在结构上的某个载荷的偏导数，等于该载荷作用点沿该载荷作用方向位移。注意：具体应用卡氏第二定理时，应变能必须表示为载荷的函数。四、卡氏第二定理的应用式中：——广义位移（线位移，角位移）——广义力（力、力偶）1.对于桁架结构（各杆受拉或压）2、对于受扭圆轴3.对于横力弯曲（不计剪力的影响）4.对于组合变形（不计剪力的影响

8、）例桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D点的垂直位移。解1、各杆内力2、应变能计算3、利用卡氏第二定理求D点的垂直位移例求图示梁B处的挠度和转角。解一、求B处挠度由于C、B截面都作用着集中力F，为了将二个F区分开，可设作用在B处的F为FB。BC段：AC段：令：FB=FAC段：BC段：二、求B处的转角由于B处没有相应的力偶与转角相对应，可假设在B作用一力偶(为附加力偶）。令，上式为：BC：AB：例求图示刚架C点的垂直位移，水平位移