第十三章.能量法

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1、第十三章能量法能量变形1.功能原理——W=U物理意义：弹性体在变形的过程中，外力所做的功全部转化为弹性体储存于内部的变形能。在功能的转化过程中，还会有动能的损失，还会产生热能等其它形式的能量，但由于这些能量与变形能相比，是很小的，故在一般情况下可以忽略不计，而近似地认为W全部地转化成了U。2.能量法——从能量的角度出发，利用功能原理来求解弹性体变形的方法。基本概念：§13-1概述§13-2杆件变形能的计算.轴向拉压变形能的计算：N=常量轴向拉压变形方法：微元法：微量相对于的影响。而言很小，忽略微段近似的被看成N=常量的等直杆，从而可参照用公式——计算微段内的变形能令微段内的变形

2、能为du，则：微元法二.扭转变形能的计算：1．（图三）2．（变量）（图四）方法：微元法。图三扭转变形图四三．弯曲变形能的计算：2．（图六）方法：微元法1.四、组合变形截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。例13—1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。解：例13—2：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。解：例13—3：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI为常量。解：§13-4功的互等定理和位移互等定理二.定理证明：1．和所示，在线弹性范

3、围之内的情况下，梁内的变形能应为：缓慢地按相同的比例增加地作用在梁上，如图——<1>.定理：——功的互等定理——位移互等定理图a图b图c图d——作用下，1点沿方向的位移——作用下，2点沿方向的位移2.按照先作用后作用力与位移的关系可得梁内的变形能应为：的方式施加载荷，根据——<2>3.由于梁内的变形能与加载方式是无关的，故即：——功的互等定理4.在时：——位移互等定理§13-5卡氏定理式中：U——弹性体内的变形能（在P2…作用下）——作用在弹性体上一组外力P1、P2…中，作用在n点处的外力.——对应于所发生的n点沿方向的位移。一．定理：的偏导数，作用点沿位移，即：方向的对于线弹

4、性结构，变形能对任一外力等于二.定理证明：1.在原始载荷作用下（P1、P2…作用下）的变形能。令此两种情况下的变形能为相同。如图所示：P1、P2…为作用于弹性体上的一组载荷，在此称为原始载荷。为我们为了求解问题的需要，地施加于弹性体上的一微小增量，其作用方向及作用位置与而假想2.在原始载荷作用的基础上，在n点沿方向施加弹性体的变形能，由于处施加了一增量能U也应产生一增量故此时弹性体内的变形能应后，，则变形为：卡氏定理增加载荷原始载荷弹性体由=可得：，而总的变形能应为：3.先作用而后作用P1、P2…。由于的作用，弹性体内所产生的变形能为：在的作用过程中，由

5、不因先前作用了而有所改变，同时由于在这一过程中始终作用在弹性体上，因此该过程中，弹性体内再次产生的变形能应为：对弹性体的作用效果并P1、P2…P1、P2…略去二阶微量：，求得：——卡氏定理。横力弯曲梁：变形能：三.卡氏定理的应用2.平面曲杆（截面高度远小于轴线曲率半径）变形能：3.桁架：变形能：分别指广义位移和广义力，即：注：上述公式中，则为线位移，为力偶时，则为一转角。为集中力时，和左端截面A的转角例13—4：如图所示为一外伸梁，其抗弯刚度EI已知，试求外伸端C的挠度解：〈一〉求支座反力及内力方程：1.支反力：由2.弯矩方程：AB段：BC段：3．求和注：此处和力的方向一致。的

6、结果为正，说明位移方向同各自处外举例说明卡氏定理的附加力法：例：如图所示为一悬臂梁，其抗弯刚度EI为已知，试求自由端截面的垂直位移及截面转角。解：〈一〉在梁的自由端截面处作用附加力和如图：〈二〉求和此时，讨论：当我们所要求其位移的截面处无集中力作用时，或所要求其转角的截面处无集中力偶作用时，为了能够使用卡氏定理解题，我们可以在上述位置处作用上附加力和附加力偶然后按照卡氏定理求出结果，并在结果中令即可。，目录§13-7单位载荷法莫尔定理（莫尔积分）例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。例：计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张开量ΔAB。EI=常数。

7、例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求B端的扭转角。已知E、μ。解：例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内,在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知GIp、EI为常量解：(1)(2)(3)§13-8图形互乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分直杆的M0(x)图必定是直线或折线。顶点顶点二次抛物线例：试用图乘法求所示悬臂梁自由