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时间:2020-09-16
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1、指数与导数运算 1、复合函数:已知函数u=g(x),定义域为M,值域为N,函数y=f(u),定义域为N;y通过u构成x的新函数y=f[g(x)],称y为x的复数函数,其中u为中间变量。 如:u=g(x)=3x+1,y=f(u)=sinu,则y=f[g(x)]=sin(3x+1) 2、复合函数的求导法则 若u=g(x)在x处可导,y=f(u)在x的对应点u处可导y′u=f′(u),则y=f[g(x)]在点x可导,且y′x=y′u·u′x,即f[g(x)]′=f′(u)·g′(x)。 即复合函数对自变量的导数
2、,等于已知函数对中间变量的导数,乘中间变量对自变量的导数。 如,y=sin(3x+1),其中,y=sinu,u=3x+1 ∴y′x=y′u·u′x=cosu(3x+1)′=3cos(3x+1) 3、运用复合函数的求导法则要注意: 准确判断复合函数的复合关系是用好法则的前提。 应该从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析,最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经有限次四则运算而得到的函数。 4、指数、对数函数求导公式,
3、不要求掌握推导过程,只要求会运用公式。 [典型例题] 例1.求y=(2x+1)5的导数。 解:设y=u5,u=2x+1,则 yx′=yu′·ux′=(u5)′·(2x+1)′x=5u4·2=5(2x+1)4·2=10(2x+1)4。 点评:①准确分清复合函数的结构层次 如y=f(x)=2x+1,y=g(x)=x5 则y=f[g(x)]=2x5+1, y=g[f(x)]=(2x+1)5是不同的函数。 ②复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,对经过多次复合及四则运算而形成的
4、复合函数,可以直接应用公式和法则,以最外层开始由外及内,逐层求导。 例2.求的导数。 解:, 设,u=2x+1, ∴. 点评:将根式与分式形式写成分数指数与负指数形式,转化为幂函数的复合形式求导,会使问题得到简化,注意这种识别与转化。 如:,。 例3:求导① ② 解:方法1:①令y=lnu,, ∴. 方法2:先将商的对数化为对数的差 y=ln(1+3x2)-ln(2-x2) ∴. ②方法1:令y=lnu,, ∴ . 方法2:原函数定义域为-15、化简,再求导会简化运算过程 ②化简函数时,要注意保证等价变形(即函数的定义域不能改变) 例4:已知f(x)在R上可导,F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),求F′(2)。 解:F′(x)=2xf′(x2-4)-2xf′(4-x2) ∴F′(2)=4f′(0)-4f′(0)=0。 例5:证明:可导的奇函数其导函数是偶函数 证明:方法一:运用导数的定义来证,f′(-x)=f′(x) ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x) ∴ 。 方法二:用复合函数求导法则 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)6、=-f(x) 两边对x求导,得f′(-x)·(-x)′=-f′(x)即-f′(-x)=-f′(x) ∴f′(-x)=f′(x)。 例6:求导:(1)y=2x·ex (2) (3) 解:(1)y′=2xln2·ex+2x·ex=(ln2+1)·2x·ex. (2),令y=an,, ∴. (3) . 点评:(1)在y=2x·ex求导中,有同学写成即将乘法运算与复合运算混淆。 (2)在求导中,有同学先化为后,。 错在将指数函数y=ax(a为常数)与幂函数y=xn(n为常数)混淆。 例7:已知0<7、x<1,求的导数。 解:y>0,两边取对数得 ∵y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边求导,得: ∴, ∵, ∴. 点评:本题可利用求导的四则运算法则予以求导,本题利用取对数法求导,好在可以把积商求导化为较简单的和、差求导,把幂和根式的求导问题简单化。但运用此法时,要注意可以取对数的条件。 例8:y=(tanx)sinx 解:
5、化简,再求导会简化运算过程 ②化简函数时,要注意保证等价变形(即函数的定义域不能改变) 例4:已知f(x)在R上可导,F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),求F′(2)。 解:F′(x)=2xf′(x2-4)-2xf′(4-x2) ∴F′(2)=4f′(0)-4f′(0)=0。 例5:证明:可导的奇函数其导函数是偶函数 证明:方法一:运用导数的定义来证,f′(-x)=f′(x) ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x) ∴ 。 方法二:用复合函数求导法则 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)
6、=-f(x) 两边对x求导,得f′(-x)·(-x)′=-f′(x)即-f′(-x)=-f′(x) ∴f′(-x)=f′(x)。 例6:求导:(1)y=2x·ex (2) (3) 解:(1)y′=2xln2·ex+2x·ex=(ln2+1)·2x·ex. (2),令y=an,, ∴. (3) . 点评:(1)在y=2x·ex求导中,有同学写成即将乘法运算与复合运算混淆。 (2)在求导中,有同学先化为后,。 错在将指数函数y=ax(a为常数)与幂函数y=xn(n为常数)混淆。 例7:已知0<
7、x<1,求的导数。 解:y>0,两边取对数得 ∵y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边求导,得: ∴, ∵, ∴. 点评:本题可利用求导的四则运算法则予以求导,本题利用取对数法求导,好在可以把积商求导化为较简单的和、差求导,把幂和根式的求导问题简单化。但运用此法时,要注意可以取对数的条件。 例8:y=(tanx)sinx 解:
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