高数课件30空间几何5二次曲面.ppt

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1、二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．一、基本内容营口地区成人高等教育QQ群54356621（一）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：营口地区成人高等教育QQ群54356621椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.营口地区成人高等教育QQ群54356621椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴

2、旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面的交线为圆.营口地区成人高等教育QQ群54356621球面截面上圆的方程方程可写为营口地区成人高等教育QQ群54356621（二）抛物面（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.营口地区成人高等教育QQ群54356621与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.（2）用坐标面与曲面相截截得抛物线营口地区成人高等教育QQ群54356621与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点（3）用坐标面，与曲面相截均可得

3、抛物线.同理当时可类似讨论.营口地区成人高等教育QQ群54356621zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：营口地区成人高等教育QQ群54356621特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.营口地区成人高等教育QQ群54356621（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo营口地区成人高等教育QQ群54356621（三）双曲面单叶双曲面（1）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.营口地区成人高等教育QQ群54356621与平面的交线为椭圆.当变动

4、时，这种椭圆的中心都在轴上.（2）用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与轴相合，虚轴与轴相合.营口地区成人高等教育QQ群54356621双曲线的中心都在轴上.与平面的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕为一对相交于点的直线.营口地区成人高等教育QQ群54356621截痕为一对相交于点的直线.（3）用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.营口地区成人高等教育QQ群54356621单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.营口地区成人高等教育QQ群54356621双叶双曲面xyo营口地区成人高等教育QQ

5、群54356621椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）二、小结营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题方程表示怎样的曲线？营口地区成人高等教育QQ群54356621思考题解答表示双曲线.营口地区成人高等教育QQ群54356621空间曲线及其方程空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程营口地区成人高等教育QQ群54356621例1方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.营口地区成

6、人高等教育QQ群54356621例2方程组表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.营口地区成人高等教育QQ群54356621空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程营口地区成人高等教育QQ群54356621动点从A点出发，经过t时间，运动到M点螺旋线的参数方程取时间t为参数，解营口地区成人高等教育QQ群54356621螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度螺距营口地区成人高等教育QQ群54356621消去变量z后得：曲线关于的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标

7、面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影营口地区成人高等教育QQ群54356621如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面营口地区成人高等教育QQ群54356621类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在面上的投影曲线营口地区成人高等教育QQ群54356621例4求曲线在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在面上的投影为营口地区成人高等教育QQ群54356621所以在面上的投影为线段.（3）同理在面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面上，营口地区成人高等教育QQ群54356621截

8、线方程为解如图,营口地区成人高等教育QQ群54356621营口地区成人高等教育QQ群54356621补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影