高考数学复习全套课件_5.3等比数列及其性质.ppt

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1、1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.[思考探究](1)数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列吗？提示：当a＝0时，该数列不是等比数列.提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件.∵当b＝0时，a，c至少有一个为0，此时b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.(2)b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？1.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝()A.－B.－2C.2D.解析：由通项公式及已知得：a1q＝2，①a1q4＝，②由得q3

2、＝，解得q＝答案：D2.在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8a10a12＝()A.32B.±64C.64D.256解析：由已知可得a1·a19＝16，而{an}为正项等比数列，所以a10＝4.故a8a10a12＝a＝64.答案：C3.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是()A.2B.－2C.3D.－3解析：∵S3＝＝63，∴＝1＋q3＝9，∴q3＝8，∴q＝2.答案：A4.在数列{an}，{bn}中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*，都有3an＋1－an＝

3、0，则{bn}的通项公式bn＝.解析：∵a1＝2,3an＋1－an＝0，∴{an}是以2为首项，以为公比的等比数列，∴an＝a1·qn－1＝2又∵bn是an与an＋1的等差中项，答案：5.若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为.解析：由题意可知，S8－S4＝a8＋a7＋a6＋a5＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝24，所以前8项和等于17.答案：17等比数列的判定方法有：1.定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列.2.中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列

4、{an}是等比数列.2n+13.通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.4.前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝A·qn-A(A为常数且A≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.[特别警示](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定.(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可.数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.求证：数列{cn}是等比数列.[思路点拨][课堂笔记]∵a1＝S1，an＋Sn

5、＝n①∴a1＋S1＝1，得a1＝，∴c1＝a1－1＝－，又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得2an＋1－an＝1，即2(an＋1－1)＝an－1，即∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列.若将“cn＝an－1”改为“c1＝a1，且cn＝an－an－1(n≥2)”，试判断数列{cn}是否还是等比数列？解：由例题可知，2an＋1＝an＋1，∴2an＝an－1＋1(n≥2)，∴2(an＋1－an)＝an－an－1，即2cn＋1＝cn(n≥2).又∵c1＝a1＝，a2＋S2＝2，∴a2＋a1＋a2＝2，即a2＝，∴c2＝a2－a1＝∴数列{cn}是首项为，公比为的

6、等比数列.1.在等比数列{an}的通项公式和前n项和公式中共有五个量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求解.2.在进行等比数列基本量的计算时，要恰当运用等比数列的性质，这样可以大大简化运算，提高效率.[特别警示]在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目套用求和公式.(2009·辽宁高考)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[思路点拨][课堂笔记](1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a

7、1q2).由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4，从而Sn＝＝[1－(－)n].若将例题条件中的“S1，S3，S2成等差数列”改为“a1，a3，a2成等差数列”，试求{an}的公比q.解：依题意有a1＋a1q＝2a1q2，又∵a1≠0，∴1＋q＝2q2，解之得，q＝1或q＝－.在等比数列中常用的性质有：1.等比数列的单调性设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}为递增数列；(2)当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}为

8、递减数列；