数学高考复习全套精品PPT课件基本不等式及其应用.ppt

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1、第四节基本不等式及其应用基础梳理2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥(a,b∈R).≥(a,b同号).(3)ab≤(a,b∈R).a≥0,b≥0a=b2ab21.基本不等式(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.3.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有值是.(简记:积定和最小)(２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当时,xy有是.(简记:和定积最大)典例分析题型一证明不等式【例1】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:≥9.x=y

2、最小最大x=y证明=(a+b+c)+(a+b+c)+(a+b+c)=3++++++=≥3+2+2+2=9.学后反思本题如果改为a>0,b>0,c>0,求(a+b+c)·（）≥9就比较明显.用a+b+c=1的条件（a+b+c）“隐”去，造成了思考上的困难,因此应注意“1”的代换.构造基本不等式，使其积为定值，并使得等号同时成立.分析将a+b+c=1代入不等式左边,构造基本不等式模型,再利用基本不等式证明.举一反三1.设a＞0,b＞0,c＞0,求证:证明:∵a＞0,b＞0,∴同理,,∴即题型二求最值【例2】(1)设0

3、值;(2)求的取值范围;(3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求的最小值.分析(1)由00,8-3x>0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得(2)原式变为,再讨论a-4的正负.(3)由,再用基本不等式求最值.解(1)∵02>0,∴,当且仅当3x=8-3x,即时取等号,∴当时,的最大值是4.(2)显然a≠4,当a>4时,a-4>0,∴,当且仅当时,取等号;(3)∵x>0,y>0,且x+y=1,∴,当且仅当,即x=2y时等号成立，∴当时，有最小值18.当a<4时,a-4<0

4、,∴，当且仅当,即a=4-时,取等号.∴的取值范围是(-∞,-+4]∪[+4,+∞).学后反思(1)在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.本题第(2)小题中+a虽不是定值,但变形为+(a-4)+4即可发现×(a-4)=3为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求最值,通常化成y=mg(x)++B(A>0,m>0),g(x)恒正或恒负)的形式,然后运用基本不等式来求最值.(2)第(3)小题

5、要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见的错解为：∵x>0,y>0,∴.此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件和x=y同时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第(2)小题中当a＜4,即a-4＜0时,要用基本不等式必须前面添负号变为正.举一反三2.求f(x)=+x的值域.解析：由已知得(1)若x>2,则

6、x-2>0.故当且仅当,即x=3时，取等号.(2)若x<2,则x-2<0.故所以f(x)≤0,当且仅当,即x=1时，取等号.由（1）、(2)可知，的值域为（-∞,0]∪[4,+∞）.分析这是一道建筑工程类问题，解决本题的突破点是将总费用分成三个部分：（1）建花坛MNPQ的费用；(2)阴影部分铺花岗岩地坪费用；（3）草坪费.题型三实际应用【例3】(14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字型区域.现计划在正方形MN

7、PQ上建一花坛，造价为4200元/,在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/.(1)设总造价为S元，AD的边长为xm,试建立S关于x的函数关系式；（2）计划至少要投多少元，才能建造这个休闲小区?解（1）设DQ=y则,,……….3′……………………..7′(2)…………………………10′当且仅当,即x=10时取等号.即计划至少要投入11.8（万元）才能建造这个休闲小区.14′.学后反思用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再

8、利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求，有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面求条件最值的方法来求最值.