数学高考复习全套精品PPT课件等差数列.ppt

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1、4.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且p+q=m+n(p,q,m,n∈N*),则ap+aq=am+an.(3)若{an}是等差数列，公差为d,则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn}是等差数列.(5)若{an}是等差数列，则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d,其前n项和.6.等差数

2、列的前n项和公式与函数的关系数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的二次函数且常数项为0，即Sn=an2+bn.7.在等差数列{an}中，若a1＞0,d＜0，则Sn存在最大值;若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.典例分析题型一等差数列的基本运算【例1】(2008·全国)等差数列{an}中，a4=10,且a3,a6,a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20.分析用a4与d表示a3,a6,a10,根据等比中项的性质，知a26=a3a10，列方程求出d,进而根据a4与d

3、求出首项a1，即可求S20,或用a1,d表示a3,a4,a6,a10,再列方程求出a1和d，然后求出S20.解设数列{an}的公差为d,则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.由a3,a6,a10成等比数列,得a3a10=a26,即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2,整理得d2-d=0,解得d=0或d=1.当d=0时，S20=20a4=200;当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7.所以,学后反思等差数列{an}中一共涉及五个基本量，即

4、首项a1,第n项an,项数n,公差d以及前n项和Sn,在a1,an,n,d,Sn中只要知道其中三个，其他两个就能求（简称“知三求二”）.其中a1与d是最基本的两个量，往往用它们表示其他的量列出方程（组）进一步求解.另外等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式以及其性质公式应在解题过程中灵活应用.举一反三（2009·全国Ⅱ）已知等差数列{}中，求{an}的前n项和.解析:设{}的公差为d,则即解得或所以,当时，当，题型二等差数列的判定【例2】(2009·启东模拟)已知数列{an}的前n项和

5、为Sn,且满足(1)求证:是等差数列；（2）求an的表达式..分析（1）由已知条件联想=(n≥2)，然后再利用等差数列的定义证明(n≥2)为常数；（2）根据等差数列的通项公式求出，代入=(n≥2)即可求出（2）由（1）知当n≥2时，有又∵n=1时，∴解（1）证明：∵an=Sn-Sn-1(n≥2),∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0,由等差数列的定义知是以为首项，以2为公差的等差数列.（2）判断等差数列最常用的方法是定义法an+1-an=d(n∈N*)和等差中项法an+1+an-1=2an(n∈

6、N*且n≥2)举一反三2.(2009·湖北改编)已知数列{}的前n项和(n为正整数).令,求证:数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式.学后反思(1)数列{an}是等差数列①an-an-1=d(n∈N*且n≥2,d为常数)或an+1-an=d(n∈N*);②an+1+an-1=2an(n∈N*且n≥2);③an=kn+b(k,b为常数);④Sn=An2+Bn(A,B为常数).∴,即当n≥2时，又∵,∴数列{}是首项和公差均为1的等差数列.于是,∴解析：在中，令n=1,可得,即当n≥2时，∴∴,即∵题

7、型三等差数列性质的应用【例3】(1)(2008·宁夏、海南)已知{an}为等差数列，a3+a8=22,a6=7,求a5;(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求它的前3m项的和.分析（1）由等差数列的性质a3+a8=a6+a5,即可求出a5,或用a1与d表示出a3,a8,a6,根据已知条件列出关于a1与d的方程组，求出a1与d的值，然后根据等差数列的通项公式求出a5.(2)由等差数列{an}的前n项和Sn的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列，即由2(100-30)

8、=30+(S3m-100)可求出S3m.解(1)方法一：由等差数列的通项公式得∴a5=a1+4d=47-32=15.方法二：由等差数列的性质,得a3+a8=a5+a6a5=15.(2)方法一：∵Sm=a1+a2+…+am,S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m,S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m.∴(S2m-Sm)-Sm=m2d=(S3m-S2m)-(S2m-Sm).所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.