初中数学提高讲义-方案型应用题.doc

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1、数学讲义2：二元一次方程组解应用题——方案型应用题引入至今我们已经学过了用方程（包括一元一次方程、二元一次方程组）、不等式（一元一次不等式）来解决相应应用问题的方法。但在实际的应用问题中往往不会明确要求用方程还是不等式求解，因此就需要我们自己去分辨。分辨的方法，简而言之就是见到不等关系列不等式，见到等量关系列方程。我想这对各位而言应该没有太大的难度。应用题中最难的部分实际在设元上，间接设元和辅助设元的方法都是平时课内没有细讲的。但这不是本讲的重点，我们会在后面专门讲间接设元和辅助设元的方法。现在回到

2、正题，我们所遇到的方案问题不过以下两种，我们依次来看：方程特殊解造成的方案问题同样拿一个例子来看：例1：若大军买了数支10元及15元的圆珠笔，共花费90元，则这两种圆珠笔的数量可能相差_________支分析：不难列出方程（省略设元）：10x+15y=90，仅有一个二元一次方程我们显然无法求出他的解。不过，由于买的是圆珠笔，因此便隐含其数量都应为“正整数”这一条件。于是我们不难试出结果为x=6，x=3两组，因此两者可能相y=2y=4差4支或1支。试的方法我想各位都会，但未免粗糙，如果问题复杂的话就不

3、太好试了因此这里向各位介绍一下一般的方法。题目中有一个鲜明的特点，那就是两个未知数，却只有一个方程，而最终的解是结合未知数需取正整数解而确定下来的。事实上，像这样未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（整数或正整数等）的方程或方程组我们把它称作不定方程问题。再回过头看例1，由于只有一个方程，所以只能“解”出一个未知数（不妨解x），当然前提是我们把剩余的未知数（y）全都看为常数。于是我们得到解：，我们可以看到x的解中y的系数分母为2，因此为了满足x、y均为正整数这一隐含条件，我们必须让y取2的

4、倍数，分别代入2、4、6……即可。与直接试的方法相比，这样做的好处在于试的时候更有针对性，也更有条理，不易遗漏。完成下面的练习，把直接试数法与以上方法进行比较，看看哪个方法更好。练习1：某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有种购买方案，分别为__________________思考1：书P53~54讲的“百鸡问题”。事实上，这也是一个不定方程问题，试着去完成它，你就会更好的看出以上方法的优势。不等式（组）特殊解造成的方

5、案问题我们常遇到的第二类问题是由不等式组的限定导致的方案问题，此类问题往往是综合了不等式、方程组和方案讨论于一身的综合型应用题。因此，这类题目往往“占地面积较大”，让人一看就心里发怵。但实际上只要择清题目中的等量关系和不等关系，题目其实并不难，只不过有一点点计算量罢了。以下来看一个标准而典型的例子：例2：某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元。（1）每台电脑机箱、液晶显示器

6、的进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？分析：“”为等量关系，对应方程组；“”为不等关系，对应不等式；“”也对应等量关系，但是用于设未知数，不列出方程。第二问所问的“方案”，实际上就是问买电脑机箱和液晶显示器的台数，一组就是一种方案。最大利润的

7、方案则可通过计算比较得知。下面是最简略的步骤：解：（1）设每台电脑机箱进价x元，每台液晶显示器进价y元。10x+8y=7000①2x+5y=4120②解得：x=60y=800答：每台电脑机箱进价60元，每台液晶显示器进价800元（2）设可以买电脑机箱x台，则可以买液晶显示器(50-x)台。60x+800(50-x)≤22240①10x+160(50-x)≥4100②解得：x≥24x≤26∴不等式组的解集为24≤x≤26∴不等式组的整数解为x=24,25,26当x=24时，50-x=26，利润为：10

8、x+160(50-x)=4400（元）当x=25时，50-x=25，利润为：10x+160(50-x)=4250（元）当x=26时，50-x=24，利润为：10x+160(50-x)=4100（元）∵4100<4250<4400∴方案1获利最大答：共有3种方案，方案1：买进电脑机箱26台，液晶显示器24台方案2：买进电脑机箱25台，液晶显示器25台方案3：买进电脑机箱24台，液晶显示器26台其中方案1获利最大，最大利润为4400元。■通过例子可以看到，这样的问题其实思