第一章(2) 预备知识-内积空间

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1、1.3内积空间1.3.1内积空间在平面（二维欧氏空间）中，向量的长度的概念以及向量的长度所满足的基本性质加以抽象成为广义的线性空间中的元素的范数（模），以及定义范数所必需满足的范数公里，从而得到赋范线性空间。于是，二维欧氏空间作为赋范线性空间的模型，表明该空间的向量的范数就是向量的长度。（复习距离空间）然而在二维欧氏空间中还有一个基本概念，即两个向量的夹角以及由此导出的两个向量的垂直（正交）的关系，未能反映在赋范线性空间得定义中，即在在赋范线性空间中没有两个元素正交的概念，因此需要定义一个空间使得在该空间中既

2、有元素的范数，又可以表示两元素的正交，这样的空间将有更多的类似于欧氏空间的几何性质。例如在二维欧氏空间R2中的向量x=(x1,x2),y=(y1,y2)的点积（内积）为：用α表示x与y的夹角，则有：同时任一向量x的长度可表示为：特别地，当向量x与y的点积为零时，表明向量x与y垂直（正交），因此定义了点积的二维欧氏空间正是要定义的内积空间的具体模型。由二维欧氏空间，可推广到n维欧氏空间。对于Rn中的两个向量，我们同样定义了内积，并引进了向量之间的夹角、正交等概念．在这里，我们把这些概念推广到一般抽象线性赋范空间

3、，建立Hilbort空间。定义1.11设k是数域（实数域或复数域）,E是k上的线性空间．若对于x,y∈E时都有唯一的数∈k与之对应，且满足:对称性：线性：正定性：其中α,β∈k，z∈E。则称为x与y的内积。定义了内积的线性空间E称为内积空间．当K为实数域时，内积空间为实内积空间．当K为复数域时，内积空间为复内积空间．由内积定义，可得到以下结论：(1):对第二变元有共轭线性：(2):当x或y为零时，=0由于内积的非负性，因而可由内积导出向量的范数作为矢量的长度。定义：容易证明，此定

4、义满足范数公理，这时，内积空间就成为赋范线性空间，可以讨论内积空间的完备性。(复习赋范空间定义）内积空间中所定义的内积是x,y的二元连续函数，即当xn→x,yn→y(n→∞)时，有→(n→∞)。定义1.12:完备的内积空间称为Hilbert空间，记为H长度的定义意味着内积空间E中两个矢量x、y的距离为：

5、

6、x-y

7、

8、，内积的正性还意味着当

9、

10、x-y

11、

12、=0时，只有x=y。距离概念还导出序列{xk；k=1,2,…}收敛的意义，即：如果

13、

14、xk-x

15、

16、→0，那么xk→x。换句话说

17、，如果xk和x的距离随着k的变大而越来越小，那么xk→x。例1.15:在Rn中定义内积，并由内积到出范数：在Cn中定义内积，并由内积到出范数：例1.1６:在L2[a,b]中定义内积，并由内积到出范数：第二变元取复共轭，是为了保证是正实数．例1.1７:在l2中定义内积，并由内积到出范数：内积的性质：内积的两个最重要的性质是Schwarz不等式和三角不等式。1、施瓦茨（Schwarz）不等式：设X是内积空间，对于任意x、y属于X，有：当且仅当x与y线性相关时，等号成立。在R3中，该不等式遵从余弦定理。2

18、、三角不等式：设X是内积空间当且仅当x与y线性相关时，等号成立。在R3中，该不等式描述为两点间直线距离最短。由内积导出的范数满足三角不等式，很明显也满足正定和齐次两个范数公理，表明内积空间也构成赋范空间，而赋范空间却不一定构成内积空间。3、平行四边形等式：4、极化恒等式：当X是实内积空间时，有：当X是复内积空间时，有：1.3.2正交分解对R3中的标准内积，余弦定律是：其中θ是x、y之间的夹角，上式意味着：当=0时，向量x、y正交，我们把该式作为一般定义。定义1.13设E是内积空间。1.E中两个矢量x

19、和y，若＝0．则称x与y正交,记为x⊥y。2.V是E的子集，且x与V中每一元素正交，则称x与V正交，记为x⊥V。3.V1、V2是E的两个子空间，如果V1中的每个元素同V2中的每个元素都正交，则称V1、V2正交，记为V1⊥V2。定义1.14若V是E的子集，则E中与V正交的元素的全体称为V的正交补，记为V⊥。　　显然，零元素与E中任意元素正交。正交性有以下常用的结论：１、勾股定理：E是内积空间，对于x、y∈E，若x⊥y，则：

20、

21、x+y

22、

23、2=

24、

25、x

26、

27、2+

28、

29、y

30、

31、22、设V为内积空间E的一个稠密子集

32、，x∈E，若x⊥V，则:x=0（零元素）,即V⊥={0}。3、设E是内积空间，V是E的子集，则V的正交补V⊥是E的闭线性子空间。4、正交的线性：x⊥yk，k∈N，则有：x⊥∑akyk，ak∈K。5、正交的极限性：x⊥yk，k∈N，且yk→y（k→∞），则：x⊥y6、V为E的子空间，则V∩V⊥={0}最佳逼近：设E是内积空间，V是E的线性子空间，对于x∈E，如果存在x0∈V，使得

33、

34、x-x0

35、

36、=in