教案三线性空间和内积空间

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1、教案三线性空间和内积空间基本内容提要1线性空间的概念2赋范线性空间的概念、向量范数、矩阵范数的概念，范数的等价性，适用范数计算公式3内积空间的概念，由内积导出的范数概念及相关性质4向量间夹角的概念教学目的和要求1掌握线性空间的概念、赋范线性空间、内积空间的概念2掌握根据向量间的夹角的定义计算向量间的夹角的基本方法3理解由内积空间导出的范数概念4正确掌握三种空间的异同教学重点1线性空间、赋范线性空间、内积空间的相关概念及性质2向量范数、矩阵范数的概念教学难点范数的等价性，适用范数计算公式，向量间的夹角的计算方法，线性无关函数组正交标准化方法课程类型新知识理论

2、课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入n作为普通向量空间R概念的抽象和推广，线性空间和线性赋范空间是学习数值分析时常用到的两个基本概念。这些概念在讨论函数的数值逼近理论，算法的收敛性、稳定性及误差分析等问题时，具有重要作用。§1.3线性空间1.3.1线性空间的概念定义1.3.1设V是一个非空集合，P是一个数域。如果V满足如下两个条件：1、在V中定义了封闭的加法运算“+”，即当x,yV∈时，有唯一的和x+∈yV。1这种加法运算还具有如下四条性质：（1）x+=+yyx（交换律）（2）x++=++()()yzxyz（结合律）（3）存在零元素0∈V(4)

3、存在负元素，即对V中任何元素x，都存在一个元素yV∈，使得xy+=0我们称y为x的负元素，并记为-x；2、在V中定义了封闭的乘法运算（属于集合中任意元素的乘法运算），即当x∈∈VP,λ时，有唯一的元素λx∈V。这种数乘运算要求具有以下四条性质：（1）()λ+=+µλµxxx（分配律）；（2）λ()x+=+yxyλλ（数因子的分配律）；（3）λ()()µλx=µx（结合律）（4）1x=x其中x,,yz表示V中的任意元素；λ,µ为数域P中的任意数。这时，我们称集合V是数域P上的线性空间。P为实数域R时，V称为实线性空间；P为复数域C时，V称为复线性空间。满足上

4、述性质的加法和数乘运算，统称为线性运算。上述定义很抽象，利用例1.3.1、例1.3.2、例1.3.3、例1.3.4、例1.3.5、例1.3.6讲解线性空间的具体构造。1.3.2赋范线性空间的概念定义1.3.2设V是数域P上的线性空间。对于V中的任意向量x∈V，规定一个实数（记为x）与它对应，且这种规定还满足以下三个条件：1、非负性：当x≠0时，x>0；当且仅当x=0时，x=0；2、齐次性：kx=kx，kP∈；3、三角不等式：x+≤+∀∈yxyx,,yV.那么就称上述规定在线性空间V中引进了一种范数（norm）。V称为P上的赋范线性空间。讲解例1.3.7，

5、引出无穷范数：x；1范数：x；2范数：x；p范∞122n1pp数：xxp=()∑i其中p∈∞[1,]得计算公式i=1给出连续函数空间范数的概念，对次数不超过n的多项式构成的线性空间Px[]，引入1范数，∞范数和p范数。n提问：既然一个线性空间中可引入多种范数，那么这些范数之间有什么关系呢？回答：可以证明：有限线性空间上不同范数是等价的。n设x，x是n维线性空间V上的两种范数，称这两者等价是指：存在两ab个与x无关的正常数cc,使得12ncx≤≤xcx,∀xV∈。12bab注意：这种等价性不能推广到无穷维空间，如C（[a，b]）。nn在有限维赋范线性空间R中

6、，有了范数的概念后就能刻画R中向量序列()n(0){}X依某种范数收敛的意义。它是指存在一个固定的向量X使得()n(0)XX−→→0,n∞,其中表示任何一种范数。由于范数的等价性，所以依一种范数收敛的向量序列，在任何一种范数意义下也是收敛的，并有相同的极限。因此数值计算中，常可以根据不同的需要选择一种方便的范数来研究问题的收敛性。利用例1.3.9、例1.3.10向量的范数范数、函数的范数的计算方法。1.3.3矩阵范数的概念n定义1.3.3设x∈RA,∈M[]R，对给定的向量范数x，如果规定一个非负nv实数（记为A）与A对应vAxvA＝max，则称A为由向

7、量范数导出的矩阵范数，又称算子范数。vx≠0xvv可以证明，矩阵的算子范数满足以下条件：1、非负性：当A≠0时，A>0；当且仅当A＝0时，A=0；vv2、齐次性：kA=kA，kR∈；v3、三角不等式：A+≤+∀∈BABA,,BM[]Rvvvnn4、相容性：ABABA≤≤xAxA,,∀B∈M[]R,x∈Rvvvvvvn35、E=1即单位矩阵的范数为1。6、如果B≤1，则矩阵EB±可逆，且−11()EB+≤(1−B)定理1.3.1设Ap(1=∞,2,)是由向量范数导出的矩阵范数，记Aa=()ppijmn×则m1、A1=max1≤≤jn∑i=1aij（列范数）

8、TTT2、A=λ()AA，（谱范数），其中λ()AA是指对称AA的