第4讲 复内积空间 (酉空间)

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1、第4讲复内积空间(酉空间)内容：1.复内积空间2.正规矩阵3.Hermite二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.§1复内积空间(酉空间)1.复内积空间(酉空间)定义1.1设是复线性空间,若对于中任意两个元素（向量）和,总能对应唯一的复数，记作,且满足以下的性质：（1）对称性（2）可加性（3）齐次性（4）非负性当且仅当时,则称该复数是中元素（向量）和的内积.称定义了内积的复线性空间为酉空间(或称空间或复内积空间

2、).例1.1在维向量空间中，任意两个向量，，若规定，则容易验证，它是中向量和的内积.2.酉空间的性质：(1)(2)(3)(4)3.酉空间的一些结论(1)向量的长度(2)不等式:(3)两个非零向量的夹角(4)当时，称与正交，积作.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且中的任一组基均可通过方法化为一组标准正交基.4.酉变换和复对称变换定义1.2设是空间中的一个线性变换，若对，均有成立，则称为空间上的酉变换，而满足的矩阵称为酉矩阵.定理1.1设是酉空间上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1)是

3、一个酉变换(2)保持元素的长度不变,即对任意的，有(3)中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4)在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即定义1.3设是空间中的一个线性变换，若对，均有成立，则称为空间上的复对称变换，满足的矩阵分别称为Hermite矩阵与反Hermite矩阵.§2正规矩阵定义2.1设,若满足,则称为正规矩阵.特别,当时，若满足,称为实正规矩阵.显然，对角矩阵,Hermite矩阵，反Hermite矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.定义2.2设，如果存在阶

4、正交（酉）矩阵，使得，（），则称正交（酉）相似于．定理2.1设为正规阵,则与酉相似的矩阵都是正规阵；必有个线性无关的特征向量；的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。定理2.2矩阵是正规阵的充要条件是存在酉矩阵，使得，其中是的特征值.例2.1已知是酉矩阵，且可逆，试证明是反Hermite矩阵.证明因为，由于，从而,即,故是反Hermite矩阵.§3Hermite二次型在线性代数中，讨论了实二次型，现在将其推广至复系数的情形，引入Hermite二次型.定义3.1设为个复变量，则元二次齐次函数称为复变量的元二次型.当

5、时，称为Hermite二次型.若记，则Hermite二次型可简记为，其中是一个Hermite矩阵，矩阵元满足.定义3.2当时，二次型化为，称之为Hermite二次型的标准形.与实二次型相似，作满秩的线性变换，其中C为满秩复阵，则.可以证明：矩阵也是Hermite阵，从而的复二次型化成了的复二次型.当时,二次可化为标准形.定理3.1任给一个Hermite二次型,总存在一个酉变换，把二次型化为标准形，其中是的特征值.例3.1设,求酉变换将其化为标准形.解二次型的矩阵为,的特征多项式,的特征值为,对应于各个特征值的特征向

6、量分别为,,.将其正交单位化得酉矩阵，作酉变换,则可得,这即为要求的标准形.