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1、.09函数的周期性知识梳理1.周期函数的定义对于函数yf(x)，如果存在一个常数T0，能使得当x取定义域内的一切值时，都有f(xT)f(x)，则函数yf(x)叫做以T为周期的周期函数。2.与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数f(x)a(xR)；(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若T为yf(x)的周期，则nT(nZ且n0)也是yf(x)的周期(4)若函数f(x)恒满足f(xa)f(xb)，则f(x)是周期函数，ab是它的一个周期；(5)若函
2、数f(x)恒满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数f(x)恒满足f(xa)f(xb)(ab)，则f(x)是周期函数，2ab是它的一个周期；（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即f(xa)f(xb)0型1(6)若函数f(x)恒满足f(xa)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周f(x)期；1推论：若函数f(x)恒满足f(xa)(ab)，则f(x)是周期函数，2ab是f(xb)它的一个周期；1(7)若函数f(x)恒满足f(xa)(a0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个f(
3、x)周期；1推论：若函数f(x)恒满足f(xa)(ab)，则f(x)是周期函数，2ab是f(xb)它的一个周期；（6）（7）可概括为：“乘积为1型”即f(xa)f(xb)1型..(8)若函数f(x)是偶函数，且关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数关于直线xa,xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，2ab是它的一个周期；(9)若函数f(x)是奇函数，且关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期；推论：若函数关于点(a,0)、直线xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，4ab是它的
4、一个周期；(10)若函数f(x)是奇函数，且关于点(a,0)(a0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；推论：若函数关于点(a,0)、(b,0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，2ab是它的一个周期。（8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型1f(xb)（11）分式递推型：即函数f(x)满足f(xa)(ab)1f(xb)1f(xb)1由f(xa)(ab)得f(x2a)，进而得1f(xb)f(x2b)f(x2a)f(x2b)1，由前面的结论得f(x)的周期是T4ab经典习
5、题（提示：本知识点常考小题，因此练习为主）一.选择题1.设fx是,上的奇函数，fx2fx，当0x1时，fxx，则f7.5（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)=0在区间0,6内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．23.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）A.1B.0C.1D.2..14.设函数f(x)(xR)为奇函数，且f(1),f(x2)f(x)f(2)，则f(5)等于2（）5A.0B.1C.D.525.设f(x)是
6、定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且yf(x)的图像关于直线x3对称，则下面正确的结论是（）A.f(1.5)f(3.5)f(6.5)B.f(3.5)f(1.5)f(6.5)C.f(6.5)f(3.5)f(1.5)D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)log2(1x),x06.定义在R上的函数f(x)满足f(x)，则f(2009)的值为f(x1)f(x2),x0()A.-1B.0C.1D.237.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)且f(2)f(1)1,f(0)2,2则f(1)f(2)⋯f(2008)f(20
7、09)（）A.2B.1C.0D.18.定义在R上的函数fx是奇函数，又是以2为周期的周期函数,则f(1)f(4)f(7)()A.-1B.0C.1D.49．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在[1,0]上单调递增，设af(3)，bf(2)，cf(2)，则a,b,c大小关系是()A．abcB．acbC．bcaD．cba10.设函数fx（xR）是以3为周期的奇函数，且f11,f2a，则()A.a2B.a2C.a1D.a111.函数f(x)既是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在2,
8、3上是()A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数112.设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)，且当x3,2时，f(x
