函数的周期性与对称性总结.pdf

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1、.一:有关周期性的讨论在已知条件faxfbx或fxafxb中，(1)等式两端的两自变量部分相加得常数，如axbxab，说明f(x)的图ab像具有对称性，其对称轴为x。2(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如xaxbab，说明f（x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。设a为非零常数,若对于f(x)定义域内的任意x恒有下列条件之一成立周期性规律对称性规律(1)f(xa)f(xa)T2a(1)f(ax)f(ax)xaab(2)f(x)f(xa)Ta(2)f(ax)f(bx)x2ab(3)f(xa)f(x)T2a(3)f(

2、ax)f(bx)x21ab(4)f(xa)T2a(4)f(ax)f(bx)点(,0)中心f(x)21(5)f(xa)T2a(5)f(ax)f(ax)点(a,0)为对称中心f(x)f(x)1(6)f(xa)T2af(x)11f(x)(7)f(xa)T2a1f(x)1f(x)(8)f(xa)T4a1f(x)1f(x)(9)f(xa)T4a1f(x)(10)f(x)f(xa)f(xa),a0T6a..(11)若函数f(x)同时关于直线xa,xb对称则函数f(x)的周期T2ba(12)若函数f(x)同时关于点(a,0),(b,0

3、)对称,则函数f(x)的周期T2ba(13)若函数f(x)同时关于直线xa对称,又关于点(b,0)对称(b0)则函数f(x)的周期T4ba(14)若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15)若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4aT(16)若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f()=0.⒈若yf(2x)的图象关于2两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（5+x）=f（5－x）

4、，问：y=f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+5）=f（x－5），问：y=f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f(ax)f(ax)，那么y=f（x）的图像关于直线xa对称。证明：设点Px，y是y=f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，00易知，点Q的坐标为2ax0，y0。因为点Px，y在y=f（x）的图像上，所以f(x)y0000于是f2ax0faax0faax0fx0y0所以点Q2ax0，

5、y0也在y=f（x）的图像上。由P点的任意性知，y=f（x）的图像关于直线x=a对称。定理2：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（a+x）=f（b－x），那么y=f（x）的图像关ab于直线x的对称。2定理3：如果函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+a）=f（x－a），那么y=f（x）是以2a为周期的周期函数。证明：令xax'，则xx'a，xax'2a代入已知条件fxafxa得：fx'2afx'根据周期函数的定义知，y=f（x）是以2a为周期的周期函数。定理4：如果函数y=f（x）（x∈R）满足fxafxb，那么y=f

6、（x）是以ab为周期的周期函数。.