!函数的对称性与周期性

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1、高中数学基本方法专题训练函数的对称性与周期性一、相关结论1．关于轴、轴、原点、对称2．周期性（内同）①若()，则为周期函数，为一个周期。②若()，则为周期函数，为一个周期。③若()，则为周期函数，为一个周期。④若()，则为周期函数，为一个周期。3．自对称性（内反）①若，则的图像关于直线对称；特别地，若，则的图像关于直线对称；为偶函数。②若，则的图像关于点对称；特别地，若，则的图像关于点对称；为奇函数。③若，则的图像关于点对称。4．互对称性①函数与函数的图像关于直线对称；②函数与函数的图像关于点对称；③函数与函数的图像关于直线对称。5．对称性与周期性的关系①若的图像有两条对称轴和()

2、，则为周期函数，为一个周期。②若的图像有两个对称中心和()，则为周期函数，为一个周期。③若的图像有一条对称轴和一个对称中心()，则12高中数学基本方法专题训练为周期函数，为一个周期。6．三角函数图像的对称性(k∈Z)函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)无一、基础练习1．已知定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，若的内角满足，则角的取值范围是（）A．B．C．D．2．定义在R上偶函数满足，当时，，则（）ABCD3．设是以3为周期的奇函数，若，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．定

3、义在R上的函数满足：，，且当时，，则（）A．B．C．D．5．设是R上的偶函数，，是R上的奇函数，且对于恒有，则________6．对于定义在R上的函数，有下列三个命题：①若是奇函数，则的图像关于直线对称；②若对于任意有，则的图像关于点对称；③的图像关于直线对称，则为偶函数。其中正确命题的序号为___________7．若存在常数，使得函数满足（），则的一个周期为___________8.定义在上的偶函数，在区间上单调递减，若，则实数12高中数学基本方法专题训练的取值范围是___________一、补充练习1.设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为（）A．18  

4、   B．12      C．9       D．02.若的图象关于直线对称，则（）A．         B．      C．     D．3.定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数4.设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。5

5、.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.56.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（）(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=7.已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2），则的值为                8.函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为                。9.已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。参考答案：1D，2C

6、，3D，4C；5.0；6.①③；7.；8.提示：3.∵∴4.∵，12高中数学基本方法专题训练∴，∴，∴5.，，∴即，∴即7.令，则，8.补充练习答案：1解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。2解：由得即∴3解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)4解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，∴y=g-

7、1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001，故f(4)=2001,应选（C）5解：：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为4的周期函数。∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)