函数的对称性与周期性

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1、高三第一轮复习函数的对称性与周期性函数的对称性若函数对定义域内一切(1)=函数图象关于y轴对称；=－函数图象关于原点对称；.(2)函数图象关于对称；函数图象关于对称；函数图象关于成中心对称周期函数的定义：对于函数，如果存在一个常数，能使得当取定义域内的一切值时，都有，则函数叫做以T为周期的周期函数。注：与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若T为的周期，则nT也是的周期(4)若函数恒满足，则是周期函数，是它的

2、一个周期；(5)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；(6)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；(7)若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数恒满足，则是周期函数，第4页共4页高三第一轮复习是它的一个周期；(8)若函数是偶函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；(8)若函数是奇函数，且关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于点、直线对称

3、，则是周期函数，是它的一个周期；(8)若函数是奇函数，且关于点对称，则是周期函数，是它的一个周期；推论：若函数关于点、对称，则是周期函数，是它的一个周期。【典型例题】例1、(2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为()(A)－1(B)0(C)1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由由是定义在R上的奇函数得，∴，故选择B。【窥管之见】本题用到两重要性质：①的周期为；②如是定义在R上的奇函数，则。例2、（2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称

4、，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______________.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：0例3、（2006福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：已知是周期为2的奇函数，当时，第4页共4页高三第一轮复习设，，<0，∴，选D.例4、（2006年安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，若则__________。【考点分析】本题考查函数的周期性与求

5、函数值，中档题。解析：由得，所以，则。【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解“只要加2，则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。例5、（1996全国，15）设是上的奇函数，，当0≤x≤1时，，则f（7.5）等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：由，又是奇函数，故，故选择B。例6、（2005福建卷是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．2【考点分析】本题考查函数的奇

6、偶性解析：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。故选择B。例7、（05广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性解析：由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为第4页共4页高三第一轮复习又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II)又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]

7、上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.例8、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且图象关于直线对称则下面结论正确的是（）A.B.C.D.第4页共4页