函数的周期性与对称性

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1、函数专题函数的周期性与对称性1.函数的周期定义2.有关周期函数的常用结论（1）设为非零常数，若对定义域内的任意，恒有下列条件之一成立④⑤⑥则是周期函数，2是它的一个周期。但的周期为4（2）若同时关于对称（），则是周期函数，是它的一个周期期。若关于对称，同时关于点对称，则的一个周期是若关于对称同时关于对称，则是周期函数，周期3（特殊情况）是奇函数，且，则是周期函数，周期是偶函数，且，则是周期函数，周期例1设是定义在R上的奇函数，且则____0____.2,已知函数式定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则___1.5_____.3.函数的对称（1）求与已知函数式对称的关系式（求曲线方程对

2、称的方程式）（特殊情况须记牢）①x轴②③原点④y=x⑤y=-x⑥y=x+b⑦y=-x+b⑧关于x=a⑨关于y=b⑩关于（）中心对称：若关于点对称例3.已知函数，分别按下列要求写出相应的函数式：（1）关于轴对称答案（2）关于轴对称（3）关于对称（4）关于对称（5）关于对称例4。已知函数（1）求（2）函数具有怎样的对称性？34.记住下列常用结论（1）是偶函数关于对称类似：的图像关于成轴对称对称（2)是奇函数关于（b,0）成中心对称。类似：的图像关于成中心对称。一般地若关于点成中心对称。例5.已知定义域为R的函数在上位增函数，且函数为偶函数，试比较的大小。答案5.初等函数的对称性（1）二次

3、函数的对称轴是（2）反比例函数①对称中心（0，0）②对称轴（3）函数①对称中心对称轴方程和（4）偶函数的对称轴是y轴（5）奇函数的对称中心是原点。例6.（1）的对称中心是_（-3,2））_______.对称方程是________，（2）函数的对称中心是____（3,11）____.6.注意下列对称的区别（1）如果满足的图像关于对称。（2）函数与函数的图像关于y轴对称。（3）若满足的图像关于对称（4）函数与函数的图像关于对称。例7.（1）函数与函数的图像关于________对称.（2）对于定义域为R的函数，有下述四个命题：①若是奇函数，则的图像关于点A(1,0）对称。②则函数的图像关于

4、对称，③若函数的图像关于对称，则是偶函数，④函数与函数的图像关于对称。其中正确命题的序号是________37.考题选讲例8.定义在R上且不恒为零的函数，满足且为奇函数，给出下列命题：①函数的最小正周期为；②函数的图像关于点（，0）对称；③函数的图像关于轴对称。其中真命题的序号是________例9.设函数上满足，且在闭区间（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数。例10.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根则_____-8___8.巩固练习（1）已知函数满足且是偶函数，又当，则________（2）定义在R上的函数既是奇函

5、数，又是周期函数，T是它的一个周期，若将方程的闭区间上的根的个数记为n,则n可能是__D______A.0B.1C.3D.5(3)设函数是定义在R上的奇函数，且，当时，找出函数的对称轴当时，求函数的解析式若且,求的取值范围。3