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1、.函数的周期性函数的周期性是一个重要的性质，重点在三角函数的性质中研究，但在高考中也常考查非三角函数的函数的周期。周期函数的定义：对于函数fx，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有fxTfx，则称的常数T为函数的周期。周期函数的性质：1①fxafxfx的周期为2a；②如fxafx的周期为2a；fx1③如fxafx的周期为4a；fx2④对于三角函数yAsinxB.yAcosxB，其周期T；⑤对于yAtanxB.yAcotxB，其周期T⑥若yfx关于直线xa,xbab对称，则yfx一定为周期函数，2ba为yfx的周期。【试题举例】例1、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=
2、－f(x),则,f(6)的值为(B)(A)－1(B)0(C)1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。解析：由fx2fxfx4fx2fx由fx是定义在R上的奇函数得f00，∴f6f42f2f00，故选择B。【窥管之见】本题用到两重要性质：①fxafxfx的周期为2a；②如fx是定义在R上的奇函数，则f00。1例2、设f(x)是定义在R上的奇函数，且yfx的图象关于直线x对称，则f(1)+f(2)+2f(3)+f(4)+f(5)=_0_______________.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：f0f0得f00，假设fn01因为点（n，0）和点（n1,0）关
3、于x对称，所以fn1fnfn02因此，对一切正整数n都有：fn0从而：f1f2f3f4f50。本题答案填写：0例3、已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx...635设af(),bf(),cf(),则522（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lgx.64431151设af()f()f()，bf()f()f()，cf()f()<0，55522222∴cab，选D.1例4、函数fx对于任意实数x满足条件fx2，若f15,则fxff5__________。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中
4、档题。11解析：由fx2得fx4f(x)，所以f(5)f(1)5，则fxfx211ff5f(5)f(1)。f(12)5【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较1灵活。本题应直观理解fx2“只要加2，则变倒数，加两次则回原位”则fx一通尽通也。例5、设fx是,上的奇函数，fx2fx，当0≤x≤1时，fxx，则f（7.5）等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：由fx2fxf7.5f5.5f3.5f1.5f0.5，又fx是奇函数，故f0.5f0.50.5，故选择B。例6、f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方
5、程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（B）A．5B．4C．3D．2解析：由f(x)的周期性知，f(2)f5f1f1f40即至少有根1，2，4，5。故选择B。例7设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)f(3)0．（Ⅰ）试判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数yf(x)的对称轴为x2和x7,从而知函数yf(x)不是奇函数,f(2x)f(2x)f(x)f(4x)
6、由f(4x)f(14x)f(7x)f(7x)f(x)f(14x)f(x)f(x10),从而知函数yf(x)的周期为T10..又f(3)f(0)0,而f(7)0,故函数yf(x)是非奇非偶函数;f(2x)f(2x)f(x)f(4x)(II)由f(4x)f(14x)f(7x)f(7x)f(x)f(14x)f(x)f(x10)(II)又f(3)f(0)0,f(11)f(13)f(7)f(9)0故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数yf(x)在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数yf(x)在[-2005,2005]上有8
7、02个解..
