函数的周期性

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1、函数的周期性　　2．7函数的周期性　　——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题　　一.明确复习目标　　1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；　　2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。　　二、建构知识网络　　1.函数的周期性定义：　　若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。　　周期函数定义域必是无界的　　2.若T

2、是周期，则k•T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。　　周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；　　3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。　　（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)　　4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a0,使，则的一个周期是，f(px)的一个正周期是；　　5.数列中　　简答精讲：1、B；2、A

3、；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为6。　　四.经典例题做一做　　【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。　　解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）　　∵x∈(1,2),则-x∈(-2,-1),　　∴2-x∈(0,1),∵T=2,是偶函数　　∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.　　x∈(1,2).　　解法2（从图象入手也

4、可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)　　如图：x∈(0,1),f(x)=x+1.∵是偶函数　　∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.　　又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）　　∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.　　提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;　　2.用好数形结合,对解题很有帮助.　　【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。　　解：　　周

5、期为8，　　法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。　　方法提炼：　　1.求周期只需要弄出一个常数;　　2.注意既得关系式的连续使用.　　【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.　　①求的周期；　　②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x=2k+1轴对称,(k∈Z);　　③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；　　解:①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.　　②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点

6、为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).　　∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.　　又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)　　∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y,∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.　　③设1

7、f(x)=f(-x)∴f(2-x1)=f(x1),f(2-x2)=f(x2).　　(*)为f(x2)