函数的连续性与间断点.pdf

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1、.第6次课2学时上次课复习：sinxlim1x0x1、两个重要极限x11lim1e,lim1xxexxx02、无穷小的比较本次课题（或教材章节题目）：第九节：函数的连续性和间断点教学要求：掌握函数在某点连续的定义，理解函数在区间上连续的概念，会求函数的间断点及判别其类型。重点：连续的概念，求间断点难点：求某些函数的间断点及分类教学手段及教具：讲授讲授内容及时间分配:函数在某点连续的定义25分钟区间上连续的概念15分钟函数的间断点及分类15分钟例题35分钟课后作业P80-811.2..3.参考资料

2、..§1.9函数的连续性与间断点一、函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。1．函数的增量一个变量u由初值u1变到终值u2，终值与初值之差称为u的增量(或改变量)，记作u,即u=u2u1对于函数yf(x)，设它在x0及x0的某个邻域内有定义，在x0处给自变量x一个增量x，则函数有相应的增量y，　　yf(x0+x)-f(x0)（几何解释）2例1设f(x)2x1.分别求：(1)

3、x由１变到1.2时，（2)x由１变到0.8时，的增量x和y.解：（略）2．函数的连续性如果自变量x的增量x很小时，函数y的增量y也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。定义1：设yf(x)在x0的某邻域内有定义，如果当自变量x在x0的增量x0时，相应函数的增量yf(x0x)f(x0)0，就称函数yf(x)在x0点处连续。注：f(x)在x0点连续limy0。x02例2：证明函数f(x)2x1在x=1处连续。证明：函数的定义域为,，在x=1的邻域内有定义。x:11x　　，　

4、f(x):f(1)f(1+x)222y=f(1+x)-f(1)=21+x12*114x2x2limylim4x2x0x0x02　　故　f(x)2x1　　在　x1处连续　．（类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。）..xx0x　　，则当x0时，xx0　　，这时yf(x)f(x0)根据定义１　，limy=0　　可以写作　limf(x)f(x0)0　　，即x0xx0limf(x)f(x0).xx0定义2：设yf(x)在x0的某邻域内有定义，如果xx0时f(x)的极限存在，且等于它在x0的函数值

5、,即limf(x)f(x0)，则称f(x)在点x0连续。xx0左（右）连续：若limf(x)f(x00)f(x)，就称f(x)在x0点左连续。xx0若limf(x)f(x00)f(x)，就称f(x)在x0点右连续。xx0如果f(x)在区间I上的每一点处都连续，就称f(x)在I上连续；并称f(x)为I上的连续函数；若I包含端点，那么f(x)在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。连续函数的图像是一条不断开的曲线。定义1ˊ：设yf(x)在x0的某邻域内有定义，若对0,0，当xx0时，有f(x

6、)f(x0)，就称f(x)在x0点连续。定理：f(x)在x0点连续f(x)在x0点既左连续，又右连续。【例3】多项式函数在(,)上是连续的；所以limf(x)f(x0)，有理函数在xx0分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。以上由§1.6【例2】的推论1、推论2即得。【例4】不难证明ysinx,ycosx在(,)上是连续的。【例5】证明f(x)x在x0点连续。证明：limxlim(x)0,limxlimx0，又f(0)0，所以由定理x0x00x0x00f(x)x在x0点连续；或由前§

7、1.4习题5知limx0f(0)，所以f(x)x在x0点连续。x0x2x0【例6】讨论函数y在x0的连续性。x2x0解：limylim(x2)022,limylim(x2)022，x00x00x00x00因为22，所以该函数在x0点不连续，又因为f(0)2，所以为右连续函数。二、函数的间断点通俗地说，若f(x)在x0点不连续，就称x0为f(x)的间断点，或不连续点，为方..便起见，在此要求x0的任一邻域均含有f(x)的定义域中非x0的点。间断点有下列三种情况：（1）f(x)在xx0没有定义；（2

8、）limf(x)不存在；xx0（3）虽然limf(x)存在，fx在x0点也有定义，但limf(x)f(x0)。xxx00几种常见的间断点类型：1【例7】设f(x)2，当x0,f(x)，即极限不存在，所以x0为f(x)的x1间断点。因为lim，所以x0为无穷间断点。2x0x1【例8】ysin在x0点无定义，且当x0时，函数值在1与1之间无限x次地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。0xQ1.f(x)x均为振荡间断点。1xQ1px2、f(x)qqxQ不连续，xQ连续。0x0,