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1、.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)limxlnx＿＿＿＿＿＿.x022x2dy(2)函数yy(x)由方程sin(xy)exy0所确定,则＿＿＿＿＿＿.dxx1(3)设F(x)(2)dt(x0),则函数F(x)的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.1ttanx(4)dx＿＿＿＿＿＿.cosx12(5)已知曲线yf(x)过点(0,),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1x),则2f(x)＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四
2、个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)11(1)当x0时,变量sin是()2xx(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的,但不是无穷小(D)有界的,但不是无穷大2
3、x1
4、,x1,(2)设f(x)x1则在点x1处函数f(x)()2,x1,(A)不连续(B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导,且导数连续2x,0x1,x(3)已知f(x)设F(x)f(t)dt(0x2),则F(x)为()11,1x2,13131x,0x1x,0x1(A)3(B)33x,1x2x,1x213131x,0x1x,0x1(C)3(D)33x1,
5、1x2x1,1x2x(4)设常数k0,函数f(x)lnxk在(0,)内零点个数为()e;..(A)3(B)2(C)1(D)0(5)若f(x)f(x),在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内()(A)f(x)0,f(x)0(B)f(x)0,f(x)0(C)f(x)0,f(x)0(D)f(x)0,f(x)0三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)22dy(1)设ysin[f(x)],其中f具有二阶导数,求2.dx2(2)求limx(x100x).xx4(3)求dx.01cos2xx(4)求dx.30(1x)2(5)求微分方程(x1)
6、dy(2xycosx)dx0满足初始条件y1的特解.x0四、(本题满分9分)x2xx设二阶常系数线性微分方程yyye的一个特解为ye(1x)e,试确定常数,,,并求该方程的通解.五、(本题满分9分)22设平面图形A由xy2x与yx所确定,求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分9分)作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.七、(本题满分6分)aax设x0,常数ae,证明(ax)a.八、(本题满分6分)2aMa设f(x)在[0,a]上连续,且f(0)0,证明：f(x)dx,其中Mmax
7、f(x)
8、
9、.00xa2;..1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】0【解析】这是个0型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.1lnxxlimxlnxlim洛limlimx0.x0x01x01x02xx2x22ye2xcos(xy)(2)【答案】222ycos(xy)2xy22x2【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程sin(xy)exy0两边对x求导,得22x2cos(xy)(2x2yy)ey2xyy0,2x22ye2xcos(xy)化简得y.222yc
10、os(xy)2xy【相关知识点】复合函数求导法则：如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为dydydyduf(u)g(x)或.dxdxdudx1(3)【答案】0x4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.;..x11将函数F(x)(2)dt,两边对x求导,得F(x)2.1tx11若函数F(x)严格单调减少,则F(x)20,即x.x21所以函数F(x)单调减少区间为0x.4【相关知识点】函数的单调性：设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内
11、f(x)0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加；(2)如果在(a,b)内f(x)0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少.1/2(4)【答案】2cosxC3tanxsinx2【解析】dxdxsinxcosxdxcosxcosxcosx3122cosxdcosx2cosxC.122121(5)【答案】(1x)ln(1x)x222【解析】这是微分方程的简单应用.dy22由题知xln(1x),分离变量得dyxln(1x)dx,两边对x积分有dx2122yxln(1x)dxln(1x)d(x1).2由分部积分法得122122122xln(1x)d(x1
12、)(1x)ln(1x)(1x)dx22221x122(1x)ln(1x)xdx2
