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1、.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)x(1)设yln(13),则dy＿＿＿＿＿＿.2x(2)曲线ye的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.lnx(3)dx＿＿＿＿＿＿.12x2(4)质点以速度tsin(t)米每秒作直线运动,则从时刻t1秒到t2秒内质点所经2过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.1x1e(5)lim＿＿＿＿＿＿.1x0xxe二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)23(1)若曲线y
2、xaxb和2y1xy在点(1,1)处相切,其中a,b是常数,则()(A)a0,b2(B)a1,b3(C)a3,b1(D)a1,b12x,0x1,x(2)设函数f(x)记F(x)f(t)dt,0x2,则()2x,1x2,033xx,0x1,0x133(A)F(x)(B)F(x)221x7x2x,1x22x,1x2336233xx,0x1,0x133(C)F(x)(D)F(x)222xxx2x,1x22x,1x2322(3)设函数f(x)在(,)内有定义,x00是函数f(x)的极大点,则()(A)x0必是f(x)的驻点(B)x
3、0必是f(x)的极小点;..(C)x0必是f(x)的极小点(D)对一切x都有f(x)f(x0)2x1e(4)曲线y2()x1e(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5)如图,x轴上有一线密度为常数,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为()laOmx0kmlkm(A)dx(B)dxl202(ax)(ax)l0kmkm2(C)2l2dx(D)22dx(ax)0(ax)2三、(每小题5分,满分25分.)2xtco
4、stdy(1)设,求.2ytsintdx4dx(2)计算.1x(1x)xsinx(3)求lim.2xx0x(e1)2(4)求xsinxdx.x(5)求微分方程xyyxe满足y(1)1的特解.四、(本题满分9分)ln(1x)x利用导数证明：当x1时,有不等式成立.lnx1x五、(本题满分9分)求微分方程yyxcosx的通解.六、(本题满分9分);..曲线y(x1)(x2)和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)x2x如图,A和D分别是曲线ye和ye上的点,AB和DC均垂直x轴,
5、且AB:DC2:1,AB1,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD的面积最大.y2xxyeye1ADBOCx八、(本题满分9分)设函数f(x)在(,)内满足f(x)f(x)sinx,且f(x)x,x[0,),3计算f(x)dx.;..1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)ln3(1)【答案】dxx31【解析】由复合函数求导法则,即y(f(x))的微分为dy(f(x))f(x)dx,有1xln3dy3ln3(1)dxdx.xx133111(2)【答案】(,)
6、22【解析】求函数yf(x)的凹凸区间,只需求出y,若y0,则函数图形为上凹,若y0,则函数图形为上凸,由题可知22xxye(2x)2xe,x2x2x221y2e(2x)e(2x)4e(x).221122x22因为4e0,所以当x0时y0,函数图像上凸,即x,x时,222211函数图像上凸.故曲线上凸区间为(,).22(3)【答案】1【解析】用极限法求广义积分.lnxblnxb1dxlimdxlimlnxd()221xb1xb1xb分部lnxb11lim()dxbx1xx1blnbln11lnb1limlim()11.bb
7、1xbbb11(4)【答案】2【解析】这是定积分的应用.22设在ttdt时刻的速度为tsin(t),则在dt时间内的路程为dstsin(t)dt,所以从时刻t1秒到t2秒内质点所经过的路程为2;..t22stsin(t)dtt12122tsin(t)dtsin(t)dt/22/212111cos(t)(coscos)(10).2/22222(5)【答案】11x【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以e,得11xx1ee1limlim.11x0x0xxxexe111为简化计算,令t,则x,原式可化为xt1xte1e101li
8、mlim1.1tx0te01x11xet二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等,对两函数分别对x求导,得y2xa,则该曲线在点(1,1)处的导数为y2a,x1332y2yy3xyy,即y,则曲线在点(1,1)
