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1、.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)limxlnx＿＿＿＿＿＿.x0(2)函数yy(x)由方程sin(x2y2)exxy20所确定,则dy＿＿＿＿＿＿.dx设F(x)x1)dt(x0),则函数F(x)的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿.(3)(21t(4)tanxdx＿＿＿＿＿＿.cosx(5)已知曲线yf(x)过点(0,1),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为xln(1x2),则2f(x)＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出
2、的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当x0时,变量11是()x2sinx(A)无穷小(B)无穷大(C)有界的,但不是无穷小(D)有界的,但不是无穷大
3、x21
4、,x1,则在点x1处函数f(x)(2)设f(x)x1()2,x1,(A)不连续(B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导,且导数连续(3)已知f(x)2,0x1,设F(x)f(t)dt(0x2),则F(x)为()xx1,1x2,1(A)1x3,0x1(B)1x31,0x1333x,1x2x,1x2(C)1x3,0x1(D)1x31,0x133
5、3x1,1x2x1,1x2(4)设常数k0,函数f(x)lnxx)内零点个数为()k在(0,e;..(A)3(B)2(C)1(D)0(5)若f(x)f(x),在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内()(A)f(x)0,f(x)0(B)(C)f(x)0,f(x)0(D)三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)f(x)0,f(x)0f(x)0,f(x)0(1)设y2)],其中f具有二阶导数,求d2y.sin[f(xdx2(2)求limx(x2100x).x(3)求4xdx.01cos2x(4)求x3dx.(1x)0(5)求微分
6、方程(x21)dy(2xycosx)dx0满足初始条件yx01的特解.四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程yyyex的一个特解为ye2x(1x)ex,试确定常数,,,并求该方程的通解.五、(本题满分9分)设平面图形A由x2y22x与yx所确定,求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积.六、(本题满分9分)作半径为r的球的外切正圆锥,问此圆锥的高h为何值时,其体积V最小,并求出该最小值.七、(本题满分6分)设x0,常数ae,证明(ax)aaax.八、(本题满分6分)设f(x)在[0,a]上连续,且f(0)0,证明：aMa2,其中Mmax
7、f(
8、x)
9、.0f(x)dx20xa;..1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】0【解析】这是个0型未定式,可将其等价变换成型,从而利用洛必达法则进行求解.lnx洛lim1limxlnxlimxlimx0.x0x01x01x0xx2(2)【答案】y2ex2xcos(x2y2)2ycos(x2y2)2xy【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数,将方程sin(x2y2)exxy20两边对x求导,得cos(x2y2)(2x2yy)exy22xyy0,化简得yy2ex2xcos(
10、x2y2).2ycos(x2y2)2xy【相关知识点】复合函数求导法则：如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为dyf(u)g(x)或dydydu.dxdxdudx(3)【答案】0x14【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.;..将函数F(x)x1)dt,两边对x求导,得F(x)21.(21tx若函数F(x)严格单调减少,则F(x)210,即1xx.2所以函数F(x)单调减少区间为01x.4【相关知识点】函数的单调性：设函数yf(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导
11、.(1)如果在(a,b)内f(x)0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调增加；(2)如果在(a,b)内f(x)0,那么函数yf(x)在[a,b]上单调减少.(4)【答案】2cos1/2xCtanxsinx3【解析】dxdxsinxcos2xdxcosxcosxcosx31cos2xdcosx2cos2xC.(5)【答案】1(1x2)ln(1x2)1x21222【解析】这是微分方程的简单应用.由题知dyxln(1x2),分离变量得dyxln(1x2)dx,两边对x积分有dx1yxln(1x2)dxln(1x2)d(x21).2由分部积分法得1ln(1
12、x2)d(x21)1(1x2)ln(1x2)1(1x2)12xdx222x21(1x2)ln(1x2)xdx
