函数极坐标ppt课件.ppt

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1、微积分一元函数：极限，导数，微分，不定积分，定积分多元函数：极限，偏导数，全微分，二重积分应用：几何应用，经济应用，微分方程第1章　函数(复习)函数概念函数性质函数的复合与分解初等函数成一无盖容器，写出体积与小角边长的关系．一、几个实例【例1】将边长为10cm的正方形铁皮剪去四角折【解】10cmxVx10-2xx：自变量，V:因变量x的取值范围(0,5)称为定义域．若考虑极端情况，则定义域为[0,5].确定一个函数的两大要素：例如：对应法则定义域定义：设x和y是同一变化过程中的两个变量，如果变量x在其变化范围D内任取一个值时，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的值与

2、之对应，则称y是x的函数.记作或y=f(x).D为函数的定义域．【例2】求　　　　　　　　的定义域．【解】区间形式：集合形式：BMM【解】据对称性只需考虑上半圆周t=f(M)=f(x,y)【例3】有一士兵在一半径为R的圆形游泳池中游泳,当他位于　　　时听到集合号，于是必须马上赶回位于A(2R,0)处的营房，求赶(设泳速为　，行速为)当　　　　要走圆弧，只走直线．分段函数A（不能用一个数学表达式表达）回营房所花时间t与上岸点位置M的函数关系．函数的表示法(1)公式法(解析式)分段函数,参数方程　　　,隐函数(2)表格法(3)图形表示法例如,出租车车费是距离的函数,可以

3、用表格来表示(1)取整函数y=[x]12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线【例4】几个特殊函数是一个分段函数函数也称为阶梯函数表示不超过x的最大整数(2)符号函数y1－1x0有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷（Dirichlet）函数有当x是有理数时当x是无理数时1．奇偶性二、几个特性奇偶性，单调性，有界性，周期性，凹凸性X=(－l，l)or[－l，l]f(x)是X上的偶函数f(x)是X上的奇函数图像具有对称性.【例】若f(x)是偶函数，且x>0时，　　　　，则当x<0时，f(x)=?【解】x<0时，f(x)=f(－x)2．单调性:f

4、(x)在X上（严格）单调增（减）例M-Myxoy=f(x)X有界y无界M-MxoX3．有界性:f(x)在X上有界f(x)在X上无界例　　　　　在R中有界：几何上有界函数的特点是：其图像完全落在y=M与y=－M之间的带形区域内．(1)函数是否有界总是相对于某个区间而言的．(2)有界函数的界是不唯一的．(3)若称a为f(x)在X内的下界．若称b为f(x)在X内的上界．结论：f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界．例：(1)在(－∞,＋∞)内(2)在(－∞,＋∞)内注意无界.有界.4．周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.f(x)在X上是以T(≠0)为

5、周期的周期函数但并非所有函数都有最小正周期．例如f(x)=1无最小正周期．三、函数的复合与分解y=f(x)：y=g(x)：两种复合y=f［g(x)］y=g［f(x)］由于函数的依赖关系与自变量符号无关，故一般写成：y=f(u),u=g(x)或得到y=f［g(x)］，u称为中间变量．由两个或更多个函数复合而成的函数叫复合函数．推广设则有(1)y=f［g(x)］有意义的条件为：y=f(u)的定义域u=g(x)的值域有交例：可复合成复合成无意义(2)复合函数的分解：例：　　　　　　　　　可分解为：注意：【例1】f(x)的定义域为[-1,1]，求f(2x)+f(x+1)的【

6、解】f(2x)的定义域为：f(x+1)的定义域为：取交集得所求函数定义域为：定义域．【例2】设【解】求f［g(x)］.f［g(x)］=思考：g[f(x)]=?【例3】已知　　　　　　　　　，求f(x)．【解】令　　　　，则从而思考：设f(x)满足方程：其中　　，求f(x)．四、反函数y=f(x)与互为反函数，在同一平面直角坐标系中表示同一条曲线．习惯上常将y=f(x)的反函数写作　　，此时两者在同一平面直角坐标系中的图形关于y=x对称．若对函数y=f(x)值域中的每个y，都能唯一确定出,就称　　　是y=f(x)的反函数,记为.结论：若y=f(x)是严格单调函数，则其

7、必有反函数，且也是严格单调函数．DW函数y=f(x)反函数反函数函数y=f(x)【例】已知f(x)和g(x)互为反函数，则函数的反函数是___________.例解：数设为数数例解：数设为数数基本的反三角函数反三角函数之间的关系一般解1、幂函数五、初等函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5、反三角函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算构成的函数称为初等函数.例都是初等函数．但不是初等函数．涉及到的非初等函数分段函数，参数方程，隐函数变上限积分函数项无穷级数的和函数特殊函数：双曲函数双曲函数是在自然指数函