第五讲蒙特卡洛方法及排队论讲稿ppt课件.ppt

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1、蒙特卡罗仿真与排队论模型梦想点燃激情，激情成就未来柴中林2011/4/16数模提高班之专题五数学模型的解有两种精确解近似解当然，对解的近似程度以及求解的复杂程度做一定的讨论对建模来讲都是有益的。求解问题，人们总希望得到精确解。但是在很多情况下，精确解是求不出或很难求出的。在此情况下，求得问题的近似解就是必然的了。此外，从应用的角度讲，一定程度的近似解就够了。引言排队论是重要的一类随机模型，而蒙特拉罗方法则是基于随机理论的一种重要的仿真模拟方法，它们都与不确定现象相关。引言自然现象有两类确定性现象不确定性现象随机现象模糊现象2、能用蒙特卡罗方法编程求解问题；1、了解蒙特卡罗方法的原理

2、和适用范围；3、了解排队问题的特点、基本类型和理论；4、能对简单的排队问题编程求解。本专题的学习目的一、蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗(MonteCarlo，美国一赌城的名称)方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种以概率和统计理论方法为基础的基于随机模拟的数值计算方法。它将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机和随机数实现统计模拟或抽样，再根据统计理论获得问题的近似解。蒙特卡罗方法的概率论依据：1设A表示一随机事件，P(A)，fn(A)分别表示A发生的概率和频率，则当n很大时有P(A)≈fn(A)。2设X是一随机变量（总体）,E(X)=μ,D(X)=σ2分别是X的期望和方差，X1

3、,X2,…Xn,是来自总体X的一个样本，则分别是μ和σ2的估计。3该方法也可以估计参数，如μ（λ）中含参数λ，利用μ的估计式就可估计出参数λ的值。模拟得到模拟得到随机数的产生rand产生一个服从U(0,1)分布的随机数rand(m,n)产生mn个服从U(0,1)分布的随机数exprnd(λ)产生一个服从e(λ)分布的随机数poissrnd(λ)产生一个服从P(λ)分布的随机数binornd(n,p)产生一个服从B(n,p)分布的随机数normrnd(μ,σ2)产生一个服从N(μ,σ2)分布的随机数unifrnd(a,b)产生一个服从U(a,b)分布的随机数其他一些随机变量可利用U

4、(0,1)分布通过适当数学方法得到（参见下面例子）仿真与模拟的目的和原理仿真和模拟可以说是针对同一内容的不同角度的看法描述，当需要对某一问题观察研究而相应的观察和实验时间和成本花费太高时，可以考虑用一个模型代替原型，用模型的研究达到原型的研究的目的（以节约时间和成本），这就是仿真，其在计算机上等的实现过程也称为模拟。例1：中子穿过原子反应堆屏障问题模拟原子反应堆外的铅屏障是用来屏障原子反应堆中逸出的中子的，以免给人类造成危害。经试验和分析，可做以下简单假设：每一个进入屏障的中子在撞到铅原子前行进的距离为D，然后这个中子以随机方向弹回来，并且在它的下一次撞击中又行进距离D。假设屏障厚

5、度为3D，每一个中子能经受10次撞击，问进入的中子能以多大的比例穿透铅屏障？二、仿真例子与分析分析：该问题显然难以用概率论解决，用蒙特卡罗方法却很容易。为方便，不妨做进一步假设：1中子反弹回反应堆后认为不能穿过屏障。2与铅原子相撞后任意方向等可能反弹。3中子撞击十次后毁灭。画图如右，模拟流程图如下x轴y轴中子屏障中子撞击铅屏模拟流程图初始化系统状态产生一个新中子的初试方向和运行终点中子回到反应堆了吗求频率,结束YN碰撞，产生新方向和运行终点模拟次数到了吗NY中子出了铅屏了吗碰撞次数到了吗N频数增加YYN对复杂的对象编程，画一个流程图是很有价值的程序为n=10000;%testnum

6、berm=0;%frequencyfori=1:ntheta=unifrnd(-pi,pi);%initinalanglex=cos(theta);%onlyxneededforj=1:10theta=2*pi*rand;%newanglehittedx=x+cos(theta);ifx<0break;endifx>3m=m+1;break;endendendfn=m/n%rate例2：计算定积分分析：这个积分应该有精确解，因为原函数的缘故这个积分不易求得，精确解难以得到，故求一个近似解是必然的选择。可以用其他方法求近似解，这里用蒙特卡罗方法。用蒙特卡罗方法离不开随机变量。当问题本

7、身具有随机性时，随机变量的选取与这个随机问题应当一致（如上例）；而当问题本身不具有随机性时（本例），就要引入随机变量，将确定性问题转化为不确定问题，以求得问题的解。根据积分区域，引入随机变量X,且X∽U(0,3),记其密度含函数为φ(x)，又记f(x)=exp(-x2),且在[0,3]上记Y=F(x)=f(x)/φ(x)，则模拟结果为0.8704,软件算得结果为0.8862.计算重积分原理相同，且更有价值例3：用蒙特卡罗法求π的（近似）值求π的值已有多种方法，而且要多