2014国赛集训专题6——蒙特卡洛方法及排队论.ppt

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1、2014数学建模集训专题五蒙特卡罗模拟方法与排队论模型精彩源于坚持，搏过才知其美2014/7/14本专题提纲一引言二蒙特卡罗仿真原理介绍三蒙特卡罗仿真例子与分析四排队论简介五排队论研究方法六作业数学建模的解有两类精确解近似解当然，对解的近似程度以及求解过程的复杂程度做一定的探讨对建模来讲是有益的。求解问题，总希望得到精确解。但很多情况下，精确解是求不出或者难以求出的。在此情况下，求得问题的近似解就成了必然的选择。此外，从应用的角度讲，一定程度的近似解就够了。一引言排队论是重要的一类随机模型(现象)，而蒙特卡罗方法则是基于随机理论的一种重要的仿真模拟方法，它

2、们都与不确定性现象相关联。自然现象有两类确定性现象不确定性现象随机现象模糊现象在一定条件下必然发生的现象2、能用蒙特卡罗方法编程求解问题；1、了解蒙特卡罗方法的原理和适用范围；3、了解排队问题的特点、基本类型和理论；4、能对简单的排队问题编程计算。本专题的学习目的二蒙特卡罗仿真原理介绍蒙特卡罗(MonteCarlo，美国一赌城的名称)方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种以概率论和统计方法为基础的基于随机模拟的数值计算方法。它将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机和它产生的随机数实现统计模拟或抽样，再根据统计理论获得问题的近似解。蒙特卡罗方法的概

3、率论依据：1设A是一随机事件，P(A)是A发生的概率，fn(A)是n次试验中A发生的频率，则当n很大时有：P(A)≈fn(A)。2设X是一随机变量（总体）,E(X)=μ,D(X)=σ2分别是X的期望和方差，X1,X2,…Xn,是来自X的一个样本，则分别是μ和σ2的有效估计。3上述式子不仅可以求概率等的近似值，也可以估计参数。如μ（λ）中含参数λ，根据μ的估计式的求解就可得到λ的近似值。4蒙特卡罗方法的精髓或妙处在于设计合理的概率模型，以便用模拟的方法求解问题。模拟得到模拟得到（伪）随机数的产生rand产生一个服从U(0,1)分布的随机数rand(m,n)产

4、生mn个服从U(0,1)分布的随机数exprnd(λ)产生一个服从e(λ)分布的随机数poissrnd(λ)产生一个服从P(λ)分布的随机数binornd(n,p)产生一个服从B(n,p)分布的随机数normrnd(μ,σ)产生一个服从N(μ,σ2)分布的随机数unifrnd(a,b)产生一个服从U(a,b)分布的随机数其他一些随机变量的随机数可利用U(0,1)分布等通过适当数学方法得到仿真与模拟的目的和原理仿真和模拟可以说是针对同一内容的不同角度的看法描述，当需要对某一问题观察研究而相应的观察和实验时间和成本花费太高时，可以考虑用一个模型代替原型，用模

5、型的研究达到原型的研究的目的（以节约时间和成本），这就是仿真，其在计算机上等的实现过程也称为模拟。例1：中子穿过原子反应堆屏障问题模拟原子反应堆外的铅屏障是用来屏障堆中逸出的中子的，以免造成危害。一般的，可做以下简单假设：每个进入屏障的中子在撞到铅原子前行进的距离为D，然后这个中子以随机方向弹回来，并且在它的下一次撞击中又行进距离D。假设屏障厚度为3D，每一个中子能经受10次撞击，问进入的中子能以多大的比例穿透铅屏障？三仿真例子与分析反应堆铅屏障运动的中子分析：该问题显然难以用概率论解决，用蒙特卡罗方法却很容易。为方便，将屏障内外径看作直线段，并做进一步假

6、设：1中子反弹回反应堆后认为不能穿过屏障。2与铅原子相撞后任意方向等可能反弹。3中子撞击十次后必毁灭。画图如右，模拟流程图如下屏障x轴y轴中子外半径内半径中子撞击铅屏模拟流程图初始化系统状态产生一个新中子的初试方向和运行终点中子回到反应堆了吗求频率,结束YN碰撞，产生新方向和运行终点模拟次数到了吗NY中子出了铅屏了吗碰撞次数到了吗N频数增加YYN对复杂对象的编程，画一个流程图是很有帮助的中子问题程序n=10000;%simulationnumberm=0;%frequency;Further,Disdeemedtobe1fori=1:ntheta=unif

7、rnd(-pi/2,pi/2);%initinalanglex=cos(theta);%onlyxneedstobeconsideredforj=1:10theta=2*pi*rand;%newangleafterahittingx=x+cos(theta);%newdistanceisaddedifx<0%theneutronreturnstothepilebreak;endifx>3%theneutronpassesthroughthebarrierm=m+1;%madds1break;endendendfn=m/n%frequency例2：计算定积分

8、分析：这个积分应该有精确解，因为原函数的缘故这个积分不易求得，故求