考研数学超强题型总结,不怕你考不了高分.pdf

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1、.第一讲求极限的各种方法通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极教学g(x)限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求limf(x)极限；利用Taylor公式求极限；目的数列极限转化成函数极限求解1．用等价无穷小量代换求极限重2．用罗必塔法则求极限点g(x)难3．用对数恒等式求limf(x)极限点4．利用Taylor公式求极限5．数列极限转化成函数极限求解1．约去零因子求极限教2．分子分母同除求极限3．分子(母)有理化求极限4．应用两个重要极限求极限学5．用等价无穷小量代换求极限6．用罗必塔法则求极限g(x)7．用

2、对数恒等式求limf(x)极限提8．数列极限转化成函数极限求解9．n项和数列极限问题10．单调有界数列的极限问题纲;..第一讲求极限的各种方法求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。g(x)用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求limf(x)极限是重点，及时分离极限式中的非零因子是解题的重要技巧。1．约去零因子求极限4x1例1：求极限limx1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。2(x1)

3、(x1)(x1)2【解】limlim(x1)(x1)6x1x1x12．分子分母同除求极限32xx例2：求极限lim3x3x1【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。321xx1x1【解】limlimx3x3133x13x【评注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；0mnnn1anxan1xa0(2)limmnmm1xbxbxbmm10anmnbn3．分子(母)有理化求极限22例3：求极限lim(x3x1)x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。222222(x3x1)(x3x1)【解】lim(

4、x3x1)limxx22x3x12lim0x22x3x11tanx1sinx例4：求极限lim3x0x1tanx1sinxtanxsinx【解】limlimx0x3x03x1tanx1sinx;..1tanxsinx1tanxsinx1limlimlim33x0x0x2x0x41tanx1sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键．．．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限1sinx1x1nx两个重要极限是lim1和lim(1)lim(1)lim(1x)e，第一个重要极限x0xxnnx0x

5、过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。xx1例5：求极限limxx11【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。X2x11xx2x121222【解】limlim1lim11exx1xx1xx1x12xx1x2a例6：(1)lim1；(2)已知lim8，求a。2xxxxa5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：x当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,12b1cosx~x,1ax1~abx；2(2)等价无穷小量代换,只能代换

6、极限式中的因式；．．sinxxxxlim＝lim＝0是不正确的3３x0x0tanxx(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．xln(1x)例7：求极限limx01cosxxln(1x)xx【解】limlim2.x0x01cosx12x2sinxx例8：求极限lim3x0tanx12sinxxsinxxcosx12x1【解】limlimlimlim3322x0tanxx0xx03xx03x6;..sinxsinsinxsinx例9：求极限lim.4x0x(sinxsinsinx)sinxsinxsinsinxcosxcos(

7、sinx)gcosx【解】limlimlim432x0xx0xx03xcosx(1cos(sinx))sin(sinx)gcosxsinx1limlimlim2x03xx06xx06x66．用罗必塔法则求极限2lncos2xln(1sinx)例10：求极限lim2x0x0【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2x22lncos2xln(1sinx)cos2x1sinx【解】limlim2x0xx02xsin2x21lim32x02cos2xx1sinx2x22xcos(t)dt0例11：求lim.10x0sinx

8、【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解22xx2222xcostdtxcostdt2x2xcosx400【解】limlimlim10109x0sinxx0xx010x4181cosx2x1