考研数学超强题型总结，不怕你考不了高分

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1、第一讲求极限的各种方法通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极教学g(x)限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求limf(x)极限；利用Taylor公式求极限；目的数列极限转化成函数极限求解1．用等价无穷小量代换求极限重2．用罗必塔法则求极限点g(x)难3．用对数恒等式求limf(x)极限点4．利用Taylor公式求极限5．数列极限转化成函数极限求解1．约去零因子求极限教2．分子分母同除求极限3．分子(母)有理化求极限4．应用两个重要极限求极限学5．用等价无穷小量代换求极限6．用罗

2、必塔法则求极限g(x)7．用对数恒等式求limf(x)极限提8．数列极限转化成函数极限求解9．n项和数列极限问题10．单调有界数列的极限问题纲1第一讲求极限的各种方法求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。g(x)用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求limf(x)极限是重点，及时分离极限式中的非零因子是解题的重要技巧。1．约去零因子求极限4x−1例1：求极限limx→1x−1【说明】x→1表明

3、x与1无限接近，但x≠1，所以x−1这一零因子可以约去。2(x−1)(x+1)(x+)12【解】lim=lim(x+1)(x+)1=6x→1x−1x→12．分子分母同除求极限32x−x例2：求极限lim3x→∞3x+1∞【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。∞321−1x−xx1【解】lim=lim=x→∞3x3+1x→∞3+133x【评注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；⎧⎪0m>nnn−1anx+an−1x+Λ+a0⎪(2)lim=⎨∞m

4、bmm−10⎪an⎪m=nb⎩n3．分子(母)有理化求极限22例3：求极限lim(x+3−x+)1x→+∞【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。222222(x+3−x+1)(x+3+x+)1【解】lim(x+3−x+)1=limx→+∞x→+∞22x+3+x+12=lim=0x→+∞22x+3+x+11+tanx−1+sinx例4：求极限limx→0x31+tanx−1+sinxtanx−sinx【解】lim=limx→0x3x→0x31+tanx−1+sinx1tanx−sinx1ta

5、nx−sinx1=limlim=lim=x→01+tanx+1+sinxx→0x32x→0x342【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键．．．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限1sinx1x1nx两个重要极限是lim=1和lim1(+)=lim1(+)=lim1(+x)=e，第一个重要极限x→0xx→∞xn→∞nx→0过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。x⎛x+1⎞例5：求极限lim⎜⎟x→+∞⎝x−1⎠1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑

6、的步骤：先凑出１，再凑+，最后凑指数部分。X2⎡x−11⎤xx⎛x+1⎞⎛2⎞⎛1⎞2⎛2⎞2⎢⎜⎟⎥2【解】lim⎜⎟=lim⎜1+⎟=lim1+⎜1+⎟=ex→+∞⎝x−1⎠x→+∞⎝x−1⎠x→+∞⎢⎜x−1⎟⎝x−1⎠⎥⎝2⎠⎢⎣⎥⎦xx⎛1⎞⎛x+2a⎞例6：(1)lim⎜1−⎟；(2)已知lim⎜⎟=8，求。ax→+∞⎝x2⎠x→+∞⎝x−a⎠5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：x当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~e−1,

7、12()b1−cosx~x,1+ax−1~abx；2(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；．．sinx−xx−xlim＝lim＝0是不正确的x→0tan3xx→0x３(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．xln(1+x)例7：求极限lim=x→01cos−xxxxln(1+⋅)x【解】lim=lim=2.xx→→001cos−x12x2sinx−x例8：求极限limx→0tan3x12sinx−xsinx−xcosx−1−2x1【解】lim=lim=lim==lim=−x→0tan

8、3xx→0x3x→03x2x→03x26⎡⎤⎣⎦sinx−sinsin()xxsin例9：求极限lim.4x→0x(sinx−−sinsin)sinxxsinxsinsinxcosx−cos(sin)cosxxg【解】lim=lim=lim432xx→→00xxx→03x3cos(1cos(sin))x−xxsin(sin)cosgxsinx1==limlim=lim=2xx→→0036xxx→066x6．用罗必