考研数学超强题型总结,不怕你考不了高分.docx

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1、教学目的重点难点教学提纲.第一讲求极限的各种方法通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求limf(x)g(x)极限；利用Taylor公式求极限；数列极限转化成函数极限求解1．用等价无穷小量代换求极限2．用罗必塔法则求极限3．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限4．利用Taylor公式求极限5．数列极限转化成函数极限求解1．约去零因子求极限2．分子分母同除求极限3．分子(母)有理化求极限4．应用两个重要极限求极限5．用等价无穷小量代换求极限6．用罗必塔法则求极限7．用对数恒等式求limf(x)g(x)

2、极限8．数列极限转化成函数极限求解9．n项和数列极限问题10．单调有界数列的极限问题;..第一讲求极限的各种方法求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求零因子是解题的重要技巧。1．约去零因子求极限limf(x)g(x)极限是重点，及时分离极限式中的非例1：求极限limx41x1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。【解】lim(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6x1x

3、1x12．分子分母同除求极限例2：求极限limx33x2x3x1【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】limx3x2111lim3xx3x1x313x3【评注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；anxnan1xn1a00mn(2)limmnbmxmbm1xm1b0xanmnbn3．分子(母)有理化求极限例3：求极限lim(x23x21)x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x23x21)lim(x23x21)(x23x21)xxx23x21lim20x23x21x例4：求极限lim1tanx1sin

4、xx3x0【解】lim1tanx1sinxlimtanxsinxsinxx0x3x0x31tanx1;..1tanxsinx1tanxsinx1limlim3limx34x01tanx1sinxx0x2x0【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键．．．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是limsinx1)x1)n11和lim(1lim(1lim(1x)xe，第一个重要极限x0xxxnnx0过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。xx1例5：求极限limxx11【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的

5、步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。Xxxx12x1212【解】limlim1lim1x11xx1xx1xx12xx2ax例6：(1)lim11；(2)已知lim8，求a。x2xaxx212e25．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1,1cosx~1x2,1axb1~abx；2(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式；．．limsinxx＝limxx＝0是不正确的x0tan3xx0x３(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．例7：求极限li

6、mxln(1x)1cosxx0【解】limxln(1x)limxx2.x01cosxx01x22例8：求极限limsinxxx0tan3x21x2【解】limsinxxsinxxcosx1lim1tan3xlimx3lim226x0x0x03xx03x;..sinxsinsinxsinx例9：求极限limx4.x0(sinxsinsinx)sinxsinxsinsinxcosxgcos(sinx)cosx【解】limx4limx3lim3x2x0x0x0limcosx(1cos(sinx))glimsinx1limsin(sinx)cosxx03x2x06xx06x6

7、6．用罗必塔法则求极限例10：求极限limlncos2xln(1sin2x)x2x0【说明】或0型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2xsin2lncos2xln(1x)limcos2x1sin2x【解】limx22xx0x0limsin2x2123x02xcos2x1sinxx2x2cos(t2)dt0例11：求lim.sin10xx0【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解x2x2x20cost2dtx20cost2dtlim2x2xcosx4【解】lim10lim109x0sinxx0xx010x21x81cos