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1、初中数学（人教版）八年级上册第十三章 轴对称第十三章 轴对称知识点一 轴对称图形1.轴对称图形满足的两个条件(1)轴对称图形是一个整体图形;(2)沿一条直线(对称轴)折叠,直线两旁的部分能够互相重合.两者缺一不可,如图13-1-1所示.图13-1-1特别提醒(1)轴对称图形是对一个图形而言的;(2)对称轴是一条直线,不是线段或射线;(3)“互相重合”是指对称轴两旁的部分全等.2.几种常见轴对称图形的对称轴名称角等腰三角形(底≠腰)等边三角形长方形(长≠宽)正方形圆图形角平分线所在的直线底边中线所在的直线每条边上的中线所在的
2、直线过对边中点的直线过对边中点的直线及对角线所在的直线过圆心的直线对称轴条数11324无数例1图13-1-2中的图形是不是轴对称图形?如果是,请你试着画出它们的对称轴.图13-1-2解析都是轴对称图形,如图13-1-3.图13-1-31.轴对称的概念包含的两层含义(1)有两个图形;(2)存在一条直线(对称轴),两个图形沿这条直线对折能够互相重合.知识点二 轴对称2.对称点折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.如图13-1-4所示:图13-1-43.轴对称和轴对称图形的区别和联系名称关系轴对称轴对称图形对象不同两个图形一个图形
3、意义不同两个图形的特殊位置关系一个具有特殊形状的图形对称点位置不同对称点分别在两个图形上对称点在同一个图形上对称轴位置不同在两个图形之间一定经过这个图形对称轴数量不同只有一条对称轴可能不止一条联系(1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠.(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形;把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条直线成轴对称例2图13-1-5中的哪两个图形成轴对称?图13-1-5解析图13-1-5③⑤中的两个图形成轴对称.总结 两个图形关于某条直线成轴对称必须满足两个条件:(1)两
4、个图形的大小、形状相同;(2)能找到一条直线,使两个图形沿这条直线对折后能够互相重合.知识点三 线段垂直平分线的性质与判定线段的垂直平分线图形性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等直线l是线段AB的垂直平分线,P为l上一点,则PA=PB;反过来,若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上知识详解(1)由线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等,比利用两三角形全等证明更简捷.线段的垂直平分线的性质在求线段的长及平面图形的周长中都有广泛的应用.(2)线段的垂
5、直平分线的判定是画线段垂直平分线的依据例3(2019四川广元苍溪期中)如图13-1-6,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于D,AC边的垂直平分线l2交BC于E,l1与l2相交于点O.△ADE的周长为6cm.(1)求BC的长;(2)分别连接OA、OB、OC,若△OBC的周长为16cm,求OA的长.图13-1-6分析(1)先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD,AE=CE,再根据已知条件及AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出结论;(2)先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OB,再由△OBC的周长为16cm求出
6、OC的长,进而得出结论.解析(1)∵l1、l2分别是线段AB、AC的垂直平分线,∴AD=BD,AE=CE,∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC,∵△ADE的周长为6cm,即AD+DE+AE=6cm,∴BC=6cm.(2)如图13-1-7,∵AB边的垂直平分线l1交BC于D,AC边的垂直平分线l2交BC于E,∴OA=OC=OB,∵△OBC的周长为16cm,即OC+OB+BC=16cm,∴OC+OB=16-6=10cm,∴OC=5cm,∴OA=OC=OB=5cm.图13-1-7例4(2019四川广安岳池期中)如图13-1-8所
7、示,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF与AD交于点G,求证:AD垂直平分EF.图13-1-8分析根据角平分线的性质可得DE=DF,所以点D在EF的垂直平分线上,只要再证明点A也在EF的垂直平分线上,就能说明AD垂直平分EF.证明∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,∴点D在EF的垂直平分线上.在Rt△AED和Rt△AFD中,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF,∴点A在EF的垂直平分线上,∵两点确定一条直线,∴直线A
8、D是EF的垂直平分线,即AD垂直平分EF.知识点四 轴对称及轴对称图形的性质轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称图形的性质轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线图13-1-9例5如图
