小波变换的定义ppt课件.ppt

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1、9.1小波变换的定义小波变换的定义给定一个基本函数，令(9.1.1)若a,b不断地变化，我们可得到一族函数。给定平方可积的信号，即则小x(t)的小波变换（WaveletTransform，WT）：（9.1.2）信号的小波变换是a和b的函数，b是时移，a是尺度因子。又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波基函数，或简称小波基。式中,b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波作伸缩。式中的因子是为了保证在不同的尺度时，始终能和母函数有着相同的能量，即令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变

2、换的性质，的傅里叶变换为：（9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：（9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。9.2小波变换的特点小波变换的恒Q性由小波变换的两个定义可以看出，如果在时域是有限支撑的，那么它和作内积后将保证在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位功能，也即反映的是在b附近的性质；若具有带通性质，即围绕着中心频率是有限支撑的，那么和作内积后也将反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定位性质。若的时间中心是,时宽是，的频率中心是,带宽是，那么的时间中心仍是，但时宽变成，的频谱的频率中心变为带宽变成。这样,的时宽－带

3、宽积仍是,与a无关。定义：为小波的品质因数，对，其=带宽/中心频率带宽/中心频率＝不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系图9.2.2a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，该分析窗口在高频端（图中处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图9.2.2中分析窗的面积保

4、持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要作出调整。小波变换的时域及频率分辨率信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。

5、小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。小波变换和其它信号分析方法的区别傅里叶变换傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的函数），但在时域所对应的范围是--，完全不具备定位功能。这是FT的一个严重的缺点。第9章小波变换的基础短时傅里叶变换重写（2.1.1）式，即(9.2.6)STFT不具备恒Q性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图9.2.3所示。图9.2.3STFT的时－频分析区间定义(9.2.7)为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量分布，但它是随位移和尺

6、度的能量分布，而不是简单的随的能量分布。但由于尺度间接对应频率（小对应高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时－频分布。综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是八十年代后期发展起来的应用数学分支。9.3连续小波变换的计算性质时移性质若的CWT是,那么的CWT是。记，(9.3.1)尺度转换性质如果x(t)的CWT是，令，则(9.3.2)证明:令则该性质指出，当信号的时间轴按作伸缩时，其小波变换在a和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变

7、换优点的又一体现。微分性质如果x(t)的CWT是，令，则（9.3.3）证明：由移位性质有：即两个信号卷积的CWT如果x(t),h(t)的CWT分别是及,令则（9.3.4)式中符号表示对变量b作卷积。两个信号和的CWT令的CWT分别是，且，则（9.3.5a）同理，如果，则（9.3.5b）即两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。小波变换式所定义的CWT是“线性”变换，而WVD表达式Wigner分布为代表的一类时－频分布为“双线性变换”。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅平方，即（9.2.7）

8、式的尺度图则是信号能量的