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《函数的周期性与函数的图象总结.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、.函数的周期性㈠主要知识：1.周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,①fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；②fxafx，则fx是以T2a为周期的周期函数；③fxa1，则fx是以T2a为周期的周期函数；
2、fx④fxafxa，则fx是以T2a为周期的周期函数；⑤f(ax)f(ax)，则f(x)是以Ta为周期的周其函数；⑥f(xa)1f(x)，则fx是以T2a为周期的周期函数；1f(x)⑦f(xa)1f(x)x是以T4a为周期的周期函数.1，则ff(x)⑧函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0）若f(x)为奇函数，则其周期为T4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T2a.⑨函数yf(x)xR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；⑩函数yf(x)xR的图象关于两
3、点Aa,y0、Bb,y0ab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；⑾函数yf(x)xR的图象关于Aa,y0和直线xbab都对称，则函数f(x)是以4ba为周期的周期函数；图象的对称性一个函数的对称性：1、函数yf(x)的图象关于点(a,b)对称f(x)2bf(2ax)f(ax)f(ax)2b特殊的有：①函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称f(x)f(2ax)。②函数yf(x)的图象关于原点对称（奇函数）f(x)f(x)。③函数yf(xa)是奇函数f(x)关于点a,0对称。④f(ax)
4、f(bx)c，函数yf(x)关于点(ab,c)对称222、两个函数的对称性：..①yf(x)与yf(x)关于X轴对称。②yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。③yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线abx对称.ab2m函数yf(ax)与函数y(x对称。b)关于直线x2特殊地:yf(xa)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称⑤yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。⑥yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。⑦yf()f1()关
5、于直线yx对称x与yx例1定义在R上的非常数函数满足：f(10x)为偶函数，且f(5x)f(5x)，则f(x)一定是（）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数解：因为f(10x)为偶函数，所以f(10x)f(10x)。所以f(x)有两条对称轴x5与x10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选（A）。例2设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1x)f(1x
6、)，当1x0时，f(x)1x，则f(8.6)___________2解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以x0是yf(x)的对称轴；又因为f(1x)f(1x)所以x1也是yf(x)的对称轴。故yf(x)是以2为周期的周期函数，所以f(8.6)f(80.6)f(0.6)f(0.6)0.3例3函数ysin(2x5)的图像的一条对称轴的方程是（）2..A.xB.x24C.x5D.x84解：函数ysin(2x5)的图像的所有对称轴的方程是2x5k，所以222kx，显然取k1时的对称轴方程是x22，故选
7、（A）。例4设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x1，则：2f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_____________1解：函数yf(x)的图像既关于原点对称，又关于直线x对称，所以周期是2，又2f(0)0，图像关于x1f(1)0，所以对称，所以2f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0例5、函数fx对于任意实数x满足条件fx21，若f15,则fxff5__________。例6（08湖北卷6）已知f(x)在R上是奇函数，且f(x4)f(x),当x(0,2)时，f(x
8、)2x2,则f(7)AA.-2B.2C.-98D.98例7（08四川卷）函数fx满足fxfx213，若f12，则f99(C)（Ａ）13（Ｂ）2（Ｃ）13（Ｄ）2213例8（2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则f(3)f(4)的值为（）A、1B、1C、2D、2例9（09江西卷）已知函数f(x)是(,)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2）f(x)，且当x[0,2)时，f(x)log2(x1），则f(2008)f(2009
